Demuestra que este anillo no tiene identidad.

Question

Dejemos que $R=\left \{ g:\Bbb{R}\to \Bbb{R} \mid g \text{ is continuous and } g(1)=0 \right \}$ sea un anillo. Demostrar que $R$ no tiene identidad.

La respuesta dice que no existe una función $h(x)\in R$ tal que $h(x)=1$ , que no entiendo por qué, ya que la única condición en $R$ es $g(1)=0$ . Por favor, ayúdenme a entender lo que me falta.

Answer 1

1. La elección más obvia de la función de identidad es la función constante $h(x) = 1$ . Al fin y al cabo, multiplicar $h(x)$ en un punto por otra función $g(x)$ resultados en $g(x)$ de nuevo.

2. Desgraciadamente, $h(x)$ no pertenece al anillo $R$ porque $h(1)=1\neq 0$ . No puede ser la identidad porque no está en $R$ .

3. Podemos intentar reparar el problema definiendo una función de identidad diferente $H(x)$ que es igual a 1 en la mayoría de los puntos, excepto $H(1)=0$ según sea necesario.

4. Pero luego por continuidad, $H$ es igual a cero en 1, $H$ es igual a 1 en algún otro lugar, por lo que en algún momento $p$ , $H(p)=\frac{1}{2}$ (un valor intermedio). Esto es un desastre- toma $g(x) = |x-1|$ por ejemplo: En ese momento $p$ , $$g(p)H(p) = \frac{1}{2}g(p) \neq g(p).$$ Así que no hay tal función de identidad $H(x)$ existe.

Answer 2

Una función continua $h$ no puede asumir $0$ en $x=1$ y $1$ en $\mathbb{R}-\{1\}$ de hecho $h(1)=0 \implies\exists$ un barrio $I$ de $1$ tal que $h(x) < 1$ para $x \in I$ porque $h$ es continua.

Answer 3

Sin conocer la totalidad de la respuesta del modelo que describes, ésta es mi mejor conjetura sobre lo que intenta decir:

Si $h$ es una identidad, entonces $g(x)h(x)=g(x)$ por cada $g$ y cada $x$ . En particular, esto tiene que ser cierto para $g(x)=x-1$ (que está claramente en $R$ ).

Sin embargo, entonces tenemos $(x-1)h(x)=x-1$ en todas partes, y para cada $x\ne 1$ podemos cancelar el $x-1$ . Por lo tanto, debemos tener $h(x)=1$ para todos $x\ne 1$ .

Pero esto significa que $\lim_{x\to 1} h(x)=1$ lo que significa que no podemos tener $h$ ser continua y al mismo tiempo $h(1)=0$ . No importa cuál de ellos falle, esto contradice la suposición de que $h$ es una identidad en $R$ .

Answer 4

Usted dice "La respuesta dice que no existe una función $h(x)\in R$ tal que $h(x)=1$ , que no entiendo por qué, ya que la única condición en $R$ es $g(1)=0$ ."

Deduzco que debe estar citando mal la respuesta - usted hacer entender por qué la función $h(x)=1$ no está en $R$ ya que $h(1)\ne0$ .

I apuesta la respuesta realmente dice esto: ( $*$ ) "No existe $h\in R$ tal que $h(x)=1$ para todos $x\ne1$ ."

Creo que eso es lo que dice porque tiene mucho más sentido como respuesta, y también porque puedo creer que es posible para que no entiendas que ¡! Si de hecho la única condición en $g\in R$ fue $g(1)=0$ entonces ( $*$ ) sería falsa, lo que explicaría por qué no puedes entenderla. Pero $g(1)=0$ es no la única condición en $g\in R$ ¡! Las funciones en $R$ también deben ser continuas.

Y por eso ( $*$ ) es verdadera: Si $h(x)=1$ para todos $x\ne0$ y también $h$ es continua, entonces $h(1)=1$ Así que $h\ne R$ .

(Véase la respuesta de Henning Malcolm para una explicación de por qué esto significa $R$ no tiene identidad - he ignorado la pregunta real aquí, tratando en su lugar de explicar lo que sospecho que estás perdiendo, como se pide).

Answer 5

La multiplicación en $R$ se define por $$ fg\colon x\mapsto f(x)g(x) $$ para $f,g\in R$ . Supongamos que existe una identidad, llámese $e$ .

Supongamos que $x_0\ne1$ ; entonces hay $f\in R$ tal que $f(x_0)=1$ . De hecho, puede considerar $f(x)=(x-1)/(x_0-1)$ ya que esta función es continua y $f(1)=0$ . Desde $e$ es la identidad, debemos tener $ef=f$ Así que, en particular $$ e(x_0)f(x_0)=f(x_0) $$ que conlleva $e(x_0)=1$ . Así que la función $e$ debe satisfacer $e(x)=1$ por cada $x\ne1$ . Como consecuencia $$ \lim_{x\to1}e(x)=1 $$ Sin embargo, $e\in R$ Así que $e$ es continua; esto implica que $e(1)=1$ una contradicción, porque $e\in R$ implica $e(1)=0$ .