Una Mentira Grupo y la Mentira Problema de Álgebra

Question

Yo soy un físico de hacer algunas investigaciones y me encontrado con la siguiente Mentira problema de álgebra.

Considere la posibilidad de la Mentira de Grupo $G$ (compacto y conectado, si lo desea), y dos generadores en el correspondiente Mentira álgebra $X$$Y$. Por sucesivas de la acción de la exponencial mapa se puede obtener el siguiente elemento en la Mentira de grupo $$e^{\alpha_1 X}e^{\beta_1 Y}...e^{\alpha_n X}e^{\beta_n Y} \in G. $$

La pregunta es: cuando la Mentira se genera por la acción anterior? Y si alguna parte de la Mentira de grupo no puede ser generado, lo que es el subgrupo de que se pueden generar?

Extensiones: ¿Qué es el cierre de las subgrupo generado? Se puede extender los resultados anteriores para 3 o más generadores?

Ejemplo: (1) Considerar la posibilidad de $SU(2)$ y $X=i\sigma_x, Y=i\sigma_y$ ($\sigma$ son las matrices de Pauli), entonces se puede generar toda la $SU(2)$.

(2) Considerar la $S^1\times S^1$ como una Mentira grupo y $X=Y=i(a,b)$ (en la forma elegida sistema de coordenadas). Por supuesto, sólo un unidimensional subgrupo pueden ser generados. Sin embargo, si $\frac{a}{b}$ es irracional, el cierre es de todo el grupo.

Gracias por su atención!

Answer 1

Buena pregunta. Para $SU(2)$ o $SO(3)$ usted obtiene creo que los ángulos de Euler, y hay resultados análogos para $SU(N)$. No sé sobre el caso general, parece plausible.

Sin duda el cierre del grupo generado por los exponencial es el componente conectado de $e$. Sea usted el uso del teorema de Cartan sobre cerrado subgrupo, o el uso de datos básicos como $$\exp(X+Y) = \lim_{n\to\infty} (\exp\frac{1}{n}X\exp\frac{1}{n}Y)^n\\ \exp[X,Y]= \lim_{n\to\infty} (\exp \frac{1}{n}X\exp\frac{1}{n}Y\exp(-\frac{1}{n}X) \exp(-\frac{1}{n}Y) )^{n^2}$$

Answer 2

Sobre el principal problema, creo que sé la respuesta, que es sólo el sub-Yacen grupo correspondiente a la sub-Mentira álgebra generada por $X$$Y$.

Los dos de la línea de argumento es el siguiente: es evidente que estos elementos forman un (trayectoria-conectado) subgrupo de la Mentira de grupo $G$, entonces, según el teorema de por Yamabe,de 1950, en el subgrupo sólo tiene que ser una Mentira subgrupo. La referencia es

Yamabe, H. (1950). En un arcwise conectado subgrupo de un grupo Mentira. Osaka Matemática Journal, 2(1), 13-14.

(Un comentario: El documento utiliza la frase "arcwise conectado", que se supone que se refieren a la ruta-conectividad. Sin embargo, creo que utiliza la ruta de acceso local-conectividad, que afortunadamente, no es un problema en mi situación ya que tienen algunos elementos en la Mentira de álgebra en el primer lugar.)

Es una de dos pasos de la prueba. En primer lugar, debemos mostrar que la subalgebra generado por $X$ $Y$ aparecen como los elementos en la Mentira de álgebra que son tangentes a la de los subgrupos. A continuación, tenemos que mostrar que el subgrupo está homeomórficos a la Mentira de grupo correspondiente a los generados sub-álgebra de la Mentira.

Creo que la pregunta sobre el cierre de el subgrupo está todavía abierto.