Alrededores de la plaza de los héroes

Question

Supongamos que tenemos acceso a i.yo.d. muestras de una distribución con verdadero (desconocido) la media y la varianza $\mu, \sigma^2$, y queremos estimar $\mu^2$.

Cómo podemos construir un imparcial, siempre positivo estimador de esta cantidad?

Tomando el cuadrado de la media de la muestra $\tilde{\mu}^2$ es parcial y se sobreestimar la cantidad, esp. si $\mu$ está cerca de 0 y $\sigma^2$ es grande.

Esta es, posiblemente, una pregunta trivial, pero mi google habilidades son dejarme abajo como estimator of mean-squared sólo devuelve mean-squarred-error estimators

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Si se hace de los asuntos más fácil, la distribución subyacente puede ser asumida de Gauss.

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Solución:

• Es posible construir una estimación insesgada de $\mu^2$; ver knrumsey la respuesta
• No es posible construir un proceso imparcial, siempre positivo estimación de $\mu^2$ estos requisitos están en conflicto, cuando la media real es de 0; ver Guiños' respuesta

Answer 1

No debería ser posible producir un estimador que es imparcial y siempre positivo para $\mu^2$.

Si la verdadera media es 0, el estimador debe a la expectativa de retorno de 0 pero no se permite la salida de los números negativos, por lo tanto no está permitido para la salida de los números positivos como sería sesgada. Un imparcial, siempre positivo estimador de esta cantidad siempre debe devolver la respuesta correcta cuando la media es 0, independientemente de las muestras, lo que parece imposible.

knrumsey la respuesta de la muestra de cómo corregir el sesgo de la muestra media squarred estimador para obtener una estimación insesgada de $\mu^2$.

Answer 2

Tenga en cuenta que la media de la muestra $\bar{X}$ también se distribuye normalmente, con una media de $\mu$ y la varianza $\sigma^2/n$. Esto significa que $$E(\bar{X}^2) = E(\bar{X})^2 + Var(\bar{X}) = \mu^2 + \sigma^2/n$$

Si todo lo que te importa es una estimación insesgada, puede utilizar el hecho de que la varianza de la muestra es imparcial para $\sigma^2$. Esto implica que el estimador de $$\hat{\mu^2} = \bar{X}^2 - S^2/n$$ es imparcial para $\mu^2$.