Suponiendo que $ab^2 = b^3a$ y $a^2=1$ demostrar que el orden de $b$ es $5$ .

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $a,b \in G$ con $a \ne 1$ y $b \ne 1$ . Suponiendo que $ab^2 = b^3a$ y $a^2=1$ Necesito demostrar que el orden de $b$ es $5$ .

He demostrado por contradicción que no puede ser 2 ni 3 pero no sé cómo demostrar que debe ser 5 y no puede ser 4.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$b^5 = b^3a^2b^2=(b^3a)(ab^2)=(b^3a)(b^3a)=b^3(ab^2)ba=b^3(b^3a)ba=b^6aba,$$ multiplicando por $b^{-5}$ desde la izquierda obtenemos $1=baba$ . Multiplicando por $a$ desde la derecha obtenemos $a=baba^2=bab$ . Así, $$1=a^2=(bab)^2=b(ab^2)ab=b(b^3a)ab=b^4a^2b=b^4\cdot 1 \cdot b = b^5.$$

Answer 2

Considera que $$ab^2a=b^3$$ Y así: $$b^2=ab^3a=ab^2ba=ab^2aaba=b^3aba$$ Desde aquí: $$b^{-1}=aba$$ Así, $$b^{-2}=ab^2a=b^3$$ lo que significa: $$b^5=1$$