El "resultado" acerca de la cobertura de los espacios es necesario y suffiecnt condición para el levantamiento de mapas a cubrir el espacio. La configuración es la siguiente: Vamos a $p : Y \to X$ una cubierta mapa, vamos a $Z$ ser una ruta conectada localmente ruta de acceso conectado espacio, y elegir $z_0 \in Z$, $y_0 \in Y$ de modo que $p(y_0) = f(z_0)$. A continuación, un mapa de $f : Z \to X$ ascensores de un mapa de $F : Z \to Y$ tal que $pF=f$ $F(z_0)=y_0$ si y sólo si $f_*(\pi_1(Z,z_0)) \subseteq p_*(\pi_1(Y,y_0))$. Por otra parte, cuando el ascensor existe es único.
Si $Z$ simplemente se conecta, esta condición es siempre satisfecho. Así que para el caso de $Y = Z = \tilde{X}$,$f=p$, el teorema dice que los mapas de $h : \tilde{X}\to\tilde{X}$ tal que $ph=h$ se determina únicamente por el lugar de enviar a un punto de $\tilde{x}_0 \in \tilde{X}$, y que ellos pueden enviar a $\tilde{x}_0$ a cualquier punto que se desee en $p^{-1}(\tilde{x}_0)$. La singularidad significa que todos esos $h$ debe ser homemorphisms (y por lo tanto de la cubierta de transformaciones) de la siguiente manera:
Para cualquiera de los dos puntos $a,b \in \tilde{X}$ tal que $p(a)=p(b)$, llamar a la única $h$ tal que $h(a)=b$ (e $ph=p$, por supuesto), $h_{a,b}$. A continuación, tanto en $h_{a,b}\circ h_{b,a}$ $\mathrm{id}_{\tilde{X}}$ satisfacer $ph=p$ y enviar $a$ a sí mismo. Por la singularidad, son iguales. Del mismo modo, $h_{b,a} \circ h_{a,b} = \mathrm{id}_{\tilde{X}}$.
Aquí otra prueba: he decidido añadir la prueba de mi primer instinto me dijo que escribiera (escribí la respuesta de arriba en lugar de eso, porque yo sentía que era más "estándar"). Se puede resumir mucho de cubrir el espacio de la teoría en la declaración siguiente: dado un espacio de $X$ que tiene una cobertura universal (es decir, conectado localmente trayectoria-conectado y semi-localmente simplemente se conecta el espacio), hay una equivalencia de categorías $\mathrm{Cov}(X) \to G-\mathrm{Sets}$ donde:
La categoría de $\mathrm{Cov}(X)$ tiene todos los objetos que cubren los espacios de $p : Y \to X$, y morfismos de un objeto $p: Y \to X$ a un objeto $q : Z \to X$ continua mapas de $f : Y \to Z$ tal que $qf = p$ (tenga en cuenta que invertible tal morfismos de $p : Y\to X$ a sí mismo son de la cubierta de transformaciones, pero nosotros no invertible morfismos demasiado).
Por $G$ me refiero a que el grupo fundamental de la $X$, e $G-\mathrm{Sets}$ es la categoría cuyos objetos son los conjuntos de $A$ con una acción de $G$ y cuyos morfismos son $G$-equivariant mapas.
La equivalencia se da mediante la selección de una vez por todas un punto de base $x_0 \in X$ y el envío de cada uno de ellos cubre el espacio de $p : Y \to X$ para el conjunto de $p^{-1}(x_0)$ con la acción de la $G = \pi_1(X,x_0)$ dado por la elevación de los bucles en $X$ a caminos en $Y$ y ver dónde terminan.
OK, ahora la pregunta: en esta equivalencia, la universalización de la cobertura corresponde al $G$-establecer $G$ con la acción (por ejemplo) a la izquierda de la traducción. La pregunta que ahora se traduce a la siguiente pregunta: ¿son todas las $G$-equivariant mapa de $f : G \to G$ automáticamente un isomorfismo? La respuesta es sí, ya que cualquier mapa es sólo un derecho de traducción por $f(1)$: $f(g) = f(g \cdot 1) = g \cdot f(1)$.
