Por qué $c(a_1 \ a_2 \dots \ a_k)c^{-1}=(c(a_1) c(a_2)… c(a_k))$?

Question

Investigar de manera arbitraria $a_i$ : $c(a_1 \ a_2 \dots \ a_k)c^{-1}(a_i)$.

Primer paso, $c(a_i)=a_k$. Segundo paso, $(a_1 \ a_2 \dots \ a_k)(a_k)=a_{k+1}$, Tercer paso, $c^{−1}(a_{k+1})=? $.

Cualquier respuesta que he leído en el MSE no era útil para entender. En el paso final, todas ellas implican $c^{−1}(a_{k+1})=c(a_i)$, pero ¿por qué $c^{−1}(a_{k+1})=a_k=(a_1 \ a_2 \dots \ a_k)^{−1}(a_{k+1})$? que puede implicar $c=(a_1 \ a_2 \dots \ a_k)$ !

Agradecería cualquier simple explicación detallada.

Answer 1

Tu pregunta es acerca de las permutaciones y cómo conjugar un $k$-ciclo por una permutación conserva el tipo de ciclo.

Reclamo: Vamos a $c\in S_n$ y deje $(a_1 \; a_2 \; \ldots \; a_k)$ $k$- ciclo de trabajo en $S_n$. Entonces $$ c (a_1 \; a_2 \; \ldots \; a_k) c^{-1} = (c(a_1) \; c(a_2) \; \ldots \; c(a_k))$$

Prueba: Vamos a considerar cómo los laterales izquierdo y derecho de actuar en $c(a_1)$.

A continuación, a mano derecha envía $c(a_1)$$c(a_2)$.

$c^{-1}$ envía $c(a_1)$$a_1$, $k$- ciclo envía a$a_2$,$c$, a continuación, envía a $c(a_2)$. Por lo tanto el lado izquierdo como la composición de estas tres operaciones envía $c(a_1)$$c(a_2)$.

Elegimos $c(a_1)$ sin pérdida de generalidad, de modo que obtenemos el mismo acuerdo, si tomamos cualquier $c(a_i)$. Si un número en el conjunto $\{ 1,\dots , n \}$ no está en la $k$-ciclo, por lo que no es uno de los $a_i$, entonces es claramente fijado por ambos lados. Por lo que ambos lados son iguales.