La comprensión de la formal y definición intuitiva de límite

Question

La definición intuitiva de $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ es el valor de $f ( x )$ puede hacerse arbitrariamente cerca de $L$ hacer $x$ suficientemente cerca, pero no igual a, $a$ . Puedo entender fácilmente este ,pero para el (ε, δ)-definición de límite:Para cada una de las ε > 0, existe una verdadera δ > 0 tal que para todo real x, 0 < | x − a | < δ implica | f(x) − L | < ε.Oh ,dios ,yo no lo entiendo completamente .

Como es la definición formal de límite ,creo que debe ser preciso, pero algo debe incluir la media de la anterior definición intuitiva, así como para "$f ( x )$ puede hacerse arbitrariamente cerca de $L$" en la definición intuitiva corresponden a "Para cada una de las ε > 0,| f(x) − L | < ε" en la definición formal,está bien! pero "hacer la $x$ suficientemente cerca, pero no igual a, $a$ ." corresponden a "existe una verdadera δ > 0 tal que para todo real x, 0 < | x − a | < δ" ? este es el punto donde no puedo entender ,porque no estoy seguro de si "existe una verdadera δ > 0 tal que para todo real x, 0 < | x − a | < δ" shows "de x lo suficientemente cerca, pero no igual,a $a$".

La otra pregunta es : ¿el más grande δ también más pequeñas, como ε es cada vez más pequeño ? por qué ?(excluir el caso cuando f(x) es una función constante.)

Por qué necesitamos la definición formal de límite ?¿la definición intuitiva tiene algún defecto ?

P. S. gracias a todos, pero debo declarar sólo tengo algunos conocimientos básicos de límite ,empecé a aprender de cálculo hace un par de días .

Answer 1

La razón detrás del concepto de límite es el manejo de excepciones: Tenemos una función $f:\>\Omega\to {\mathbb R}$ definida en un conjunto a $\Omega$, y se nos da un "lugar" $a$ que pertenece a $\Omega$, o al menos es "adherente" a $\Omega$. Por lo tanto, la función de $f$ puede o no puede ser definido en $a$. Pero podemos observar (por ejemplo, por dejar de Mathematica, dibuje la gráfica de $f$) que "al $x$ es cerca de $a$$f(x)$, cerca de un particular valor de $\eta$". Si ese es el caso que nos gustaría decirle esto a otras personas mediante la escritura de $\lim_{x\to a} f(x)=\eta$.

Ahora necesitamos una definición formal de este hecho. Bajo qué circunstancias sería un valor de $\eta$ califica como límite de $f(x)$ al $x\to a$? La respuesta es simple: Si la definición de $$f(a):=\eta\tag{1}$$ (resp. overriding the given definition of $f(a)$ by $(1)$) would make $f$ continuous at $$.

Ahora apelar a la definición de continuidad: la función es continua en $a$, si, dado cualquier tolerancia $\epsilon>0$ podemos garantizar a $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ eligiendo $|x-a|$ "suficientemente pequeño", es decir, menor que una cierta franquicia de $\delta>0$, lo cual dependerá del rango de tolerancia $\epsilon$.

Answer 2

El $\varepsilon$-$\delta$-definición del límite puede ser leído como este:
para cualquier barrio de $L$, no importa cómo es pequeño (puntos de con $|y-L|<\varepsilon$), hay un barrio de $a$ (los puntos con $0<|x-a|<\delta$), de tal manera que $f$ mapas de todo el barrio en el barrio de $L$ (que es $|f(x)-L|<\varepsilon$).
Esta captura la idea de la definición intuitiva. La forma intuitiva de ver esto hace que $\delta$ más pequeño de lo $\varepsilon$ se hace más pequeño, ya que al estar más cerca de a $L$ es una condición más fuerte y está satisfecho por el menor número de puntos alrededor de $a$. Esto no es requerido por la definición.
Si hay un $\delta>0$ que satisface $|f(x)-L|<\varepsilon$ todos los $0<|x-a|<\delta$, entonces esto también es cierto para todos los $0<\delta'<\delta$, siempre se puede escoger una de las diferentes $\delta$ que es menor que todos los demás han visto antes, y se imaginan $\delta$ monótonamente decreciente. El punto importante es que el $\delta$ es distinto de cero, que no siempre es un barrio de $a$ de manera tal que todos los puntos de conseguir asignan arbitrariamente cerca de $L$$f$.

Answer 3

A medida que más y más cerca de la x que se aproxima, que hace la función de acercarnos más y más al límite? Observe que hay dos cosas cada vez más pequeños aquí.

En otras palabras, x es arbitrariamente cerca de a, es f(x) arbitrariamente cerca de L?

El punto es que tenemos que elegir la $\delta$, tal que f(x) es tan cercano a L como necesitamos.

He aquí un ejemplo,

$$\lim_{x \to 2} x^2 $$ y $$ |f(x) - 4| = |x^2 - 4| = |x-2||x+2|. $$

La primera cosa que usted debe notar es que tienen un $|x + 2|$ plazo que nosotros no deseados, así que tenemos que enlazar en $\epsilon$. Porque tenemos $0 < |x - 2| < \delta$, este término se toma a sí mismo si $\delta < 1$.

La elección de $\delta < 1$, $ |x+2| < \delta+4 < \delta + 4\delta = 5\delta $ porque $ |x - 2| < \delta $, por lo que podemos optar $\delta < min(1,\frac{\epsilon}{5})$ a continuación,

$$ |f(x) - 4| = |x-2||x+2| < |x + 2| < 5\delta \leq 5\frac{\epsilon}{5} = \epsilon.$$

A ver cómo me comparan $\delta$$\epsilon$? Yo ya tenía la $\delta$ en términos de $\epsilon$, por lo que era trivial para asegurar que el límite era más pequeño de lo $\epsilon$.