La transformada de Fourier en un Toro

Question

Si tengo una función $f(\mathbf{x})$ definido a lo largo del $\mathbb{R}^3$ y desea hacer una transformada de Fourier de esta función, que debo hacer

\begin{equation} f(\mathbf{x})=\int_{\mathbb{R}^3}\hat{f}(\mathbf{k})e^{2\pi i \mathbf{x} \cdot \mathbf{k}} d^3k, \end{equation} hasta algunos de normalización factor, que es equivalente a la expansión de la $f(\mathbf{x})$ en una base de ondas planas.

La pregunta es, si $f$ se define en su lugar durante los tres torus $\mathbb{T}^3$ o quizás $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{R}$ o $S^1 \times \mathbb{R}^2$, entonces ¿cómo puedo hacer esto transformada de Fourier?

Mi primer instinto, es decir que un periódico condición de contorno en el $i^\text{th}$ dimensión haría la ola de los modos en que la dirección discreto:

\begin{equation} k=\frac{2\pi}{L_i}n_i, \end{equation}

para todos los enteros $n_i$ dado el toro de la longitud de $L_i$. Este sería entonces el cambio de la integral de la onda-vectores en esa dirección, para una sumatoria:

\begin{equation} \int dk \to \frac{1}{L_i}\sum_{k}, \end{equation} y continuar con el análisis como antes. Es este el enfoque correcto? Gracias por la ayuda!

Answer 1

Para la función en el círculo i.e $2\pi$-perdiodic funciones, puede utilizar la Serie de Fourier. Y el 3-toro es sólo $\rm S^1 \times \rm S^1 \times \rm S^1$.

Para $\rm S^1 \times \mathbb R^2$ el uso de la Serie de Fourier en la primera variable y la transformada de Fourier para las dos últimas.

Justificación : los personajes de $\mathbb R$ son las funciones de $x \to e^{iax}$$a \in \mathbb R$. Mientras que los personajes de $\mathbb R/2\pi\mathbb Z$ son las funciones de $x \to e^{inx}$$n \in \mathbb N$.

Answer 2

Otra de la geometría de las 3 dimensiones es $\mathbb{R}^1 \times S^2$, de lo contrario se conoce como coordenadas esféricas. Las variables sobre la esfera son periódicas con el esférico polinomios como base. Más de $\mathbb{R}^1$, la base de Fourier es discreta si el objeto ha finito de apoyo. En $n$ dimensiones, esto se puede generalizar a $\mathbb{R} \times S^{n-1}$ con el ultra esférica polinomios.