El siguiente es de Atiyah-Macdonald Introducción al Álgebra Conmutativa, el ejercicio 1.22.
Al parecer, este debe ser muy fácil, mis disculpas por preguntar.
He estado atrapado durante casi 1 día y no puedo averiguar lo que está mal con mis argumentos.
Deje $A=\prod_{i=1}^n A_i$ ser el producto directo de los anillos de $A_i$. Mostrar que la Especificación$(A)$ es distinto de la unión de la apertura (y cerrado) subespacios $X_i$ donde $X_i$ es canónicamente homeomórficos con la Especificación$(A_i)$.
Lo que he probado hasta ahora:
Sé que $A=\prod_{i=1}^nA_i$, por lo que traté de encontrar todos los primeros ideales en el producto.
Uno de los lexema me mostró fue que, para cada uno de los prime ideal $\mathfrak{p}\subseteq\prod_{i=1}^nA_i$, debe ser de la forma:
$A_1\times\dotsb\times\mathfrak{p}_i\times\dotsb\times A_n$,
donde $\mathfrak{p}_i$ es un alojamiento ideal en $A_i$.
Por lo tanto llegué a la conclusión de que la Especificación$(A)=\coprod_{i=1}^nX_i$ donde $X_i=A_1\times\dotsb\times$ Espec$(A_i)\times\dotsb\times A_n$.
Si mi lema es este derecho debe abarcar todos los casos de primer ideales en $\prod_{i=1}^nA_i$,
pero tengo problemas cuando estoy comprobando sus propiedades.
A saber: $X_i\cap X_j$ debe $\emptyset$$i\neq j$, ya que estoy buscando discontinuo de la unión.
Pero mirando a $X_1\cap X_2$ parece ser un no-vacío intersección en
$($Espec$(A_1),\dots)\cap (A_1,\dots)=($ Espec$(A_1),\dots)$.
(O debería Espec$(A_1)\cap A_1=\emptyset$?)
Intuitivamente parece que puede ser capaz de definir los siguientes:
Espec$(A)\cong$ Espec$(A_1)\times\dotsb\times$ Espec$(A_n)$
A continuación, dejando $X_i=(0,\dots,$Espec$(A_i),\dots,0)$ parece resolver la inconexión de la unión problema.
También, claramente cada una de las $X_i$ es una colección de primer ideales.
Sin embargo, esto se ve como voy a estar ausente casos como el de $A_1\times\dotsb\times$ Espec$(A_i)\times\dotsb\times A_n$.
¿De dónde me salen mal?
O estoy mal interpretado nada erróneamente?
Gracias por leer!
