He leído en Jacob Lurie notas de la conferencia que si $R=k[x_{1},\dots,x_{s}]/p$, e $R'=k[y_{1},\dots,y_{t}]$ inyecta en $R$ a través de Noether de normalización tal que $R$ es finito$R'$, $R$ es Cohen-Macaulay si y sólo si $R$ es un proyectiva $R'$ módulo.
Jacob Lurie 'prueba' es por desgracia empañada por diversos errores tipográficos en las notas y la hipótesis simplificadora de que él hizo. Así que quiero intentar construir una prueba a mí mismo. A un lado de la dimensión de $R_{\mathcal{n}}=t$ es "claro", aquí subíndice $n$ es cualquier ideal maximal de a $R$. Una prueba puede ser construido por ir arriba e ir abajo en el estándar de álgebra conmutativa los libros de texto.
Pero del otro lado, que la profundidad de $R$ es igual a $t$ no está claro para mí. Por definición, esta es la muestra de la profundidad de $R_{n}$ $n$ cualquier ideal maximal de a $R$ es igual a $t$. Lurie comentó que desde projectiveness se puede expresar en términos locales, $R$ es proyectiva sobre $R'$ si y sólo si $R_{m}$ es proyectiva sobre $R'_{m}$ $m$ el ideal maximal de a $R'$. Ahora uso el de Auslander-Buchsbaum fórmula podemos concluir que:
$R_{m}$ es proyectiva como un $R'_{m}$ módulo si y sólo si la profundidad de $R_{m}$ $R'_{m}$ módulo es igual a $t$.
Así que ahora tenemos dos afirmaciones similares a las de aquí, pero una vez que la profundidad de $R$ $R$- módulo, y el otro de la profundidad de la $R$ $R'$ módulo. Lurie prueba no aborda realmente por qué las dos profundidades son iguales, y siento que me pierdo. Así que me decido a preguntar aquí. Idealmente debería ser capaz de hervir esta abajo a la definición de uso de derivados de functors, pero hasta ahora lo que tengo es un buen lío. Lurie "prueba" de lado un seguimiento de este problema de la inducción, lo cual es bueno, pero no sé cómo funciona en todos los casos.
Fuente: El CRing proyecto de archivo, página 419-420. Originalmente alrededor de la página 165 de Mateo notas.
