Cómo resolver esta integral: $\int_{-1}^{1} x^k (1-x^2)^{(n/2)-2} \, dx$

Question

Cómo resolver esta integral paso a paso: $$\int_{-1}^{1} (x^k) (1-x^2)^{(n/2)-2}dx=??? $$

En mi libro de texto, se muestra el resultado como el siguiente:

$$\int_{-1}^{1} (x^k) (1-x^2)^{(n/2)-2}dx= \frac{(x^{(1+k)} ~_2F_1((1+k)/2, ~2-n/2, ~(3+k)/2, ~x^2))}{(1+k)} ; for ~x=-1~to~1~$$

$$=\frac{((1+(-1)^k) ~\Gamma(\frac{1+k}{2}) ~\Gamma(\frac{-1+n}{2})}{2Γ( \frac{1}{2}(-1+k+n))}$$

Nota: $~_2F_1((1+k)/2, ~2-n/2, ~(3+k)/2, ~x^2)$ es una función hipergeométrica, hay una forma fácil de encontrar y resolver la integral?

Gracias de antemano

Answer 1

Siguiente de Daniel comentario:

Caso $1$ --- $\;k\ge 0\;$ es curioso: En este caso, el integrando $\;x^k(1-x^2)^{\frac n2-2}\;$ es una extraña función continua en un intervalo simétrico y por lo tanto la integral es igual a cero.

Caso $2$ --- $\;k=2m\ge 0\;$ es incluso: en este caso, nuestra integral es igual a dos veces el integrante más de la mitad del intervalo y podemos sustituir:

$$u:=x^2\implies dx=\frac{du}{2\sqrt u}\implies$$

$$\int\limits_{-1}^1 x^k(1-x^2)^{\frac n2-2}dx=2\int\limits_0^2 (x^2)^m(1-x^2)^{\frac n2-2}dx=$$

$$2\int\limits_0^1u^m(1-u)^{\frac n2-2}\frac{du}{2u^{1/2}}=\int\limits_0^1u^{m-1/2}(1-u)^{\frac n2-2}du=:B\left(\frac{k+1}2\,,\,\color{}{\frac{n-2}2}\right)$$

y, por ejemplo, utilizando la relación entre la beta y gamma de las funciones, hemos

$$B\left(\frac{k+1}2\,,\,\frac{n-2}2\right)=\frac{\Gamma\left(\frac{k+1}2\right)\Gamma\left(\frac{n-2}2\right)}{\Gamma\left(\frac{k+n-1}2\right)}$$