Integración pregunta sinx / x

Question

Estoy tratando de integrar los siguientes:

Mi primer acercamiento fue encontrar la antiderivada pero me parece que no puede expresar como aún no he aprendido acerca de la $\text{Si}(x)$. Luego traté de sustitución de la $\sin(x)$$(e^{ix}-e^{-ix})/2i$, pero se me acaba de terminar algo aún más complicado. ¿Lo que es ir de $0$ $∞$multiplicando por $2$ ayuda?

Por favor me ayude en la solución de esta integral.

Por cierto, estoy familiarizado con la sustitución e integración por partes, pero no de análisis complejo o el contorno de integración. Sin embargo, si a esta pregunta requiere de algo que ya no sepa, estoy dispuesta a tratar de entenderlo.

Gracias.

Answer 1

He aquí un enfoque que disfrutar; tal vez sea fuera del ámbito de su esfuerzo, así que esto no puede plantear como una respuesta adecuada aviso $$\int \limits_0^\infty e^{-xy} \sin x dy = \frac{\sin x}{x}$$ Por lo tanto, \begin{align} \int \limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx &=\int \limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\int \limits_0^\infty e^{-xy} \sin x dy \right)dx \\ &= \int \limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\int \limits_0^\infty e^{-xy} \sin x dx \right)dy \qquad \text{(Change order of integration)} \\ &=\int \limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{-ye^{-xy}\sin x - e^{-xy}\cos x}{1+y^2} \right)\Biggr \rvert_0^\infty dy \qquad \text{(Integrate inner brackets by parts)} \\ &=\int \limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+y^{2}}dy \\ &= \pi \end{align}

Answer 2

1. Si usted está familiarizado con la Delta de Dirac$$ \int_{-\infty}^{\infty}{\sin(x) \sobre x}\,{\rm d}x = \int_{-\infty}^{\infty}\left({1 \over 2}\,\int_{-1}^{1}{\rm e}^{{\rm i}kx}\,{\rm d}k\right) \,{\rm d}x = \pi\int_{-1}^{1}{\rm d}k \int_{-\infty}^{\infty}{{\rm d}x \a más de 2\pi}\,{\rm e}^{{\rm i}kx} = \pi\int_{-1}^{1}{\rm d}k\,\delta(k) = \pi $$

2. Truco de Cálculo manera

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \; dx &= 2 \int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \; dx \\ &= 2 \int_{0}^{\infty} \sin x \left( \int_{0}^{\infty} e^{-xt} \; dt \right) \; dx \\ &= 2 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \sin x \, e^{-tx} \; dx dt \\ &= 2 \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{t^2 + 1} \\ &= \vphantom{\int}2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi. \end{align*}$$

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