¿Cómo puedo calcular el límite de la siguiente secuencia? $$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} (n+1)^\frac{1}{n+1} ...... (2n)^\frac{1}{2n}$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Thomas
Puntos
196
El logaritmo de la limitación de cantidad:
$\displaystyle\sum_{k = 0}^{n}\dfrac{1}{n+k}\ln(n+k)$ $= \displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n}\dfrac{1}{1+\tfrac{k}{n}}\left(\ln n + \ln\left(1+\tfrac{k}{n}\right)\right) $ $= \displaystyle\dfrac{\ln n}{n}\sum_{k = 0}^{n}\dfrac{1}{1+\tfrac{k}{n}} + \dfrac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n}\dfrac{\ln\left(1+\tfrac{k}{n}\right)}{1+\tfrac{k}{n}}$
El segundo término es una suma de Riemann para $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}\,dx$.
El primer término es $\ln n$ multiplicado por una suma de Riemann para $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x}\,dx$.
Eso debería ser suficiente para decirle lo que el límite es.
Cada factor de $(n + k)^{1 \over n + k}$ al menos $n^{1 \over 2n}$ desde $n + k \geq n$${1 \over n + k} \geq {1 \over 2n}$. Más rigurosamente, se podría escribir $$(n + k)^{1 \over n + k} \geq n^{1 \over n + k} \geq n^{1 \over 2n}$$
De modo que el producto de todos los $n + 1$ factores es, al menos,$(n^{1 \over 2n})^{n+1} > (n^{1 \over 2n})^n = n^{ 1 \over 2}$. Esto va hasta el infinito como $n$ va al infinito, y por lo tanto su producto también lo hace.
HappyEngineer
Puntos
111
En primer lugar, mostrar que:
$$m^{1/m}=e^{\log(m)/m}\geq 1+\frac{\log m}{m}$$
Así:
$$\begin{align} \prod_{m=n}^{2n} m^{1/m}&\geq \prod_{m=n}^{2n}\left(1+\frac{\log m}{m}\right)\\ &\geq 1+\sum_{m=n}^{2n}\frac{\log m}{m}\\ &\geq 1+\int_n^{2n}\frac{\log x}{x}dx\\ &=1+\frac12\left(\log^2(2n)-\log^2(n)\right)\\ &=1+\frac{1}{2}\left(\log(2n)-\log(n)\right)\left(\log(2n)+\log(n)\right)\\ &=1+\frac{1}{2}\log(2)\left(2\log(n)+\log(2)\right) \end{align}$$
Así, la secuencia converge a $+\infty$.
John Chessant
Puntos
1485
Manera más fácil:
En primer lugar, tomar el logaritmo:
$$\frac{\ln(n)}{n} + \frac{\ln(n+1)}{n+1} + \cdots + \frac{\ln(2n)}{2n}$$
Observe que $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ es una función decreciente después de $x = e$ (i.e, finalmente se decreciente). Por lo tanto, para suficientemente grande $n$:
$$\frac{\ln(n)}{n} + \frac{\ln(n+1)}{n+1} + \cdots + \frac{\ln(2n)}{2n} > \frac{\ln(2n)}{2n} + \frac{\ln(2n)}{2n} + \cdots + \frac{\ln(2n)}{2n} = (n+1) \cdot \frac{\ln(2n)}{2n}$$
(Colocación de cada término con $\frac{\ln(2n)}{2n}$ es válido debido a que este es el menor plazo de la serie, debido a que $f(x)$ está disminuyendo.)
El límite de $(n+1) \cdot \frac{\ln(2n)}{2n}$ $n$ enfoques $\infty$ es infinito.
Desde el logaritmo de su producto original es infinita, su producto original es infinito.
