Si $\psi:G \to H$ es un homomorfismo suryectivo, entonces $|\{g \in G: \psi(g)=h_1\}| = |\{g \in G: \psi(g)=h_2\}|, \forall h_1,h_2 \in H.$

Question

Si $\psi:G \to H$ es un homomorfismo suryectivo, entonces $|\{g \in G: \psi(g)=h_1\}| = |\{g \in G: \psi(g)=h_2\}|, \forall h_1,h_2 \in H.$

¿Podría alguien aconsejarme sobre la prueba? Si $\psi$ es inyectiva, entonces se sigue el resultado. Entonces, ¿qué ocurre si $\psi$ no es inyectiva? Por 2º isomorfismo thm, $G/Ker(\psi) \cong H.$ ¿Es este el comienzo correcto? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: si $\psi(g_1)=\psi(g_2)$ entonces $\psi(g_1g_2^{-1})=1$ Así que $g_1g_2^{-1}\in\ker\psi$ . Si $K=\ker\psi$ entonces $g_1K=g_2K$ . ¿Y a la inversa?

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Ya que DonAntonio estropeó la diversión, aquí está la respuesta completa.

Considere $K=\ker\psi$ entonces podemos factorizar $\psi$ como $\tilde\psi\circ\pi$ donde $\pi\colon G\to G/K$ es la proyección y $\tilde\psi$ es inyectiva; también es suryectiva, porque $\psi$ es.

Así, para $h\in H$ , $\{g\in G:\psi(g)=h\}=\pi^{-1}(\tilde\psi^{-1}(h))=\pi^{-1}(g)=gK$ donde $g$ es cualquier elemento tal que $\psi(g)=h$ . Así que la cardinalidad es sólo $|gK|=|K|$ .

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Una forma menos "teórica" de ver el negocio es observar que $\psi(g_1)=\psi(g_2)$ sólo si $g_1g_2^{-1}\in K=\ker\psi$ por lo que si y sólo si $g_1K=g_2K$ (esto está implícito en el cálculo anterior). Por tanto, la imagen inversa de $h\in H$ es sólo un coset $gK$ donde $\psi(g)=h$ . Como todos los cosets tienen la misma cardinalidad, el resultado se deduce.

Answer 2

Una idea tras la respuesta de egreg:

$$\psi(g)=h_1\in H\;\implies\;\psi(gn)=h_1\;\;\forall\,n\in N:=\ker\psi\implies \psi(gN)=h_1$$

y al revés:

$$\psi(x)=h_1\implies \psi(g^{-1}x)=\psi(g)^{-1}\psi(x)=h_1^{-1}h_1=1\implies g^{-1}x\in N\iff xN=gN$$

y así vemos que

$$\{g\in G\;;\;\phi(g)=h_1\in H\}=|gN|=|N|$$

y ya está.