Supongamos que existe un cubrimiento $\xi :\mathbb{R} \mathbb{P}^2 \rightarrow X$.
¿Cómo puedo demostrar que $\xi$ es un homeomorphism? Gracias!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Chris
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133
La teoría básica de cubrir espacios que dice que si usted tiene una cubierta, $\pi_1 \mathbb RP^2$ sería un subgrupo de $\pi_1 X$ y el índice sería el número de hojas de la cubierta mapa, que es un homeomorphism si y sólo si ese numero es $1$.
Así que considere las formas en $\mathbb Z_2$ se encuentra dentro de los grupos fundamentales de las superficies.
Si usted tiene una cubierta, componiendo con la costumbre de mapa de $S^2\to P^2$ también será una cubierta. A continuación, $X$ puede ser obtenida como correctamente discontinuo cociente de $S^2$. Pero un grupo de homeomorphisms actuando en $S^2$ properyl de forma discontinua, es finito y, con un poco más de trabajo, de orden $2$, con el no trivial elemento que actúa por el centro de inversión.
Se puede terminar?
mland
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1701
No es un buen argumento de este hecho uso de la característica de euler. Supongamos $\mathbb{R}P^2$ cubre $X$. A continuación, $\chi(\mathbb{R}P^2) = k \cdot \chi(X)$ donde $k$ denota el número de hojas (que debe ser finito desde $\mathbb{R}P^2$ es compacto). Pero desde $\chi(\mathbb{R}P^2) = 1$ se sigue que $k = 1 = \chi(X)$. De ahí que el número de hojas es $1$ lo que demuestra la demanda.
