"medibles con respecto a su cumplimiento" vs "es igual a una función medible en casi todas partes"?

Question

Deje $X$ $Y$ se establece y deje $\mathscr{M}$ (resp. $\mathscr{N}$ ) $\sigma$- álgebra de subconjuntos de a $X$ (resp. $Y$). Deje $f:X \to Y$ ser alguna función.

Incluso sin ningún tipo de medidas de ahí, que todavía puede hacer sentido de lo que significa para $f$ ser medibles (es decir. elementos de $\mathscr{N}$ pull back a los elementos de $\mathscr{M}$).

Ahora vamos a especificar algunos no necesariamente completa (countably aditivo) medida $\mu:\mathscr{M} \to [0,\infty]$. Voy a llamar a un conjunto de $N \subset X$ $\mu$-null si no existe $N' \in \mathscr{M}$ tal que $N \subset N'$$\mu(N') = 0$. Supongamos que te digo que la $f$ "$\mu$medible". A mí me parece que hay dos maneras sensatas para interpretar el presente.

1. Me tome la finalización de la medida del espacio de $(X,\mathscr{M},\mu)$ y requieren que el $f$ ser medibles después de la sustitución de $\mathscr{M}$ con el resultado, posiblemente mayor, $\sigma$-álgebra. Esto es equivalente a la necesidad de que, para todos los $B \in \mathscr{N}$, $f^{-1}(B) = A \cup N$ donde $A \in \mathscr{M}$ $N$ $\mu$- null.
2. Necesito que existen algunas medibles función de $g:X \to Y$ tal que $f=g$, $\mu$-casi en todas partes (ie $\{x \in X: f(x) \neq g(x)\}$ $\mu$nulo).

No es muy difícil ver que 2 implica 1. Yo especie de sospecha de lo contrario falla, pero no puedo pensar de un contraejemplo. Los pensamientos?

Answer 1

He aquí un contraejemplo con un $\aleph_1$generado por $\sigma$-álgebra en el espacio de destino. Esto es realmente un hecho acerca de cualquier conjunto de cardinalidad $\aleph_1$, pero para hacer la notación un poco más fácil trabajamos con $X = Y = \omega_1 \times \{0,1\}$ (donde como de costumbre, $\omega_1$ es el primer innumerables ordinal). En ambos lados utilizamos la medida en que se asigna medida $0$ contables y los conjuntos de medida $1$ a cocountable conjuntos (y esos son el único tipo de conjuntos vamos a terminar de medición). Empezamos por equipar $Y$ con el contable/cocountable $\sigma$-álgebra en $\omega_1 \times \{0,1\}$, y equipamos $X$ con el algo más grueso $\sigma$-álgebra $\mathcal{M}$ consta de conjuntos de la forma $A \times \{0,1\}$ donde $A \subseteq \omega_1$ es contable o cocountable. Finalmente, nuestra función $f$ es la identidad.

Por cierto que la condición 1, desde la fecha de terminación de $\mathcal{M}$ con respecto a la medida es toda contables/cocountable $\sigma$-álgebra. Por otro lado, no tenemos la condición 2. Hacia una contradicción, supongamos que hay algunos $\mathcal{M}$medible de la función $g$ estaba de acuerdo con la identidad de un valor null (así contables) set $C \subseteq \omega_1 \times \{0,1\}$. Elija $\alpha \in \omega_1$ tal que $(\alpha, 0)$ no $C \cup g(C)$. A continuación, el singleton $S=\{(\alpha,0)\}$ es medible en $Y$, pero $g^{-1}(S) = \{(\alpha,0)\}$ no $\mathcal{M}$medible, una contradicción.