Número de diferentes números enteros entre el $1,000$ $10,000$

Question

Cuántos números enteros hay entre $1,000$ $10,000$ divisible por $60$ y todos con distintos dígitos?

Sé que hay un $8,999$ enteros en total, y $\lfloor\frac{8999}{60}\rfloor=149$. Así que hay $149$ enteros entre $1,000$ $10,000$ divisible por $60$.

Para el primer dígito tenemos $8$ opciones, para el segundo $9$ opciones, para la tercera $8$ opciones y para el último $7$ opciones. Así que hay $4,032$ diferentes números enteros entre el$1,000$$10,000$. Cómo combinar estos resultados con una respuesta en la pregunta anterior?

Answer 1

Como Andre, el problema es que quizás mejor se acercó directamente de la inclusión-exclusión. Sabemos un par de cosas:

• El número será de cuatro dígitos. (porque es de entre 1000 y 10000)
• El número es divisible por $60 = 2^2\cdot 3\cdot 5$
• • Ya que es divisible por 60 es divisible por 10 y el último dígito debe ser un cero
• • Ya que es divisible por 60 es divisible por 4 y los últimos dos dígitos debe ser divisible por 4, es decir, el segundo al último dígito es 2, 4, 6, o 8
• • Ya que es divisible por 60 es divisible por 3 y la suma de los dígitos debe ser un múltiplo de tres

Con el fin de tener la suma de los dígitos de ser un múltiplo de tres, si el último dígito es un 2 o 8, entre los dos primeros dígitos de uno de ocurrirán tres cosas:

• Ambos son equivalentes a $2$ mod 3
• El primero es equivalente a $1$ mod 3 y el otro es equivalente a $0$ mod 3
• El primero es equivalente a $0$ mod 3 y la segunda es equivalente a $1$ mod 3

Si el último dígito es 6, entonces uno de ocurrirán tres cosas:

• Ambos son equivalentes a $0$ mod 3
• El primero es equivalente a $1$ mod 3 y el otro es equivalente a $2$ mod 3
• El primero es equivalente a $2$ mod 3 y el otro es equivalente a $1$ mod 3

Si el último dígito es 4, entonces uno de ocurrirán tres cosas:

• Ambos son equivalentes a $1$ mod 3
• El primero es equivalente a $2$ mod 3 y el otro es equivalente a $0$ mod 3
• El primero es equivalente a $0$ mod 3 y el otro es equivalente a $2$ mod 3

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Ahora puede rellenar una tabla (la misma idea como un diagrama de árbol) para ver cuántas posibilidades hay un total de. Va verticalmente, voy a poner la opción de la segunda a la última dígitos (2,4,6 u 8), y va en horizontal voy a poner cuyo caso estamos en los primeros dos dígitos (como se describió anteriormente). En los espacios correspondientes dentro de la tabla I lugar el número de resultados que hay para cada uno.

opción para penúltimo dígito$\begin{array}{c|c|c} &\text{first case}&\text{second case}&\text{third case}\\ \hline 2& 2\cdot 1&3\cdot3&3\cdot3\\ \hline \color{red}{4}&\color{red}{2\cdot 1} & \color{red}{3\cdot 3} & \color{red}{3\cdot 3} \\ \hline 6& 2\cdot 1 & 3\cdot 3 & 3\cdot 3\\ \hline 8& 2\cdot 1 & 3\cdot 3 & 3\cdot 3 \end{array}$

Miremos un poco más de cerca una de estas filas, en particular, para entender de dónde los números de vino. En el caso de que el último dígito es un $4$ tenemos nuestro número de esta apariencia:

$$\underline{x}~\underline{y}~\underline{4}~\underline{0}$$

En el caso de que ambos $x$ $y$ son 1mod3, que podría ser uno de $\{1,4,7\}$, salvo que $4$ ya está en uso, así que en realidad sólo hay las opciones de $\{1,7\}$. Por recoger lo $x$ es, $y$ tiene una opción de izquierda, para un total de $2$ posibilidades para este caso. (por ejemplo, el número de $1740$)

En el caso de que $x$ es 2mod3 y $y$ es 0mod3, $x$ podría ser uno de $\{2,5,8\}$ $y$ puede ser cualquiera de $\{0,3,6,9\}$, salvo que $0$ ya está en uso por el último dígito, por lo que realmente podría haber sido sólo una de $\{3,6,9\}$. Con $3$ opciones para $x$ $3$ opciones para $y$, entonces hay un total de $9$ posibilidades para este caso. (por ejemplo,$5340$)

En el caso de que $x$ es 0mod3 y $y$ es 2mod3 es idéntico argumento de la anterior, la sustitución de las funciones de $x$$y$.

Como hemos cubierto todas las posibilidades, sin solapamiento, el total es la suma de las entradas de la tabla para un total de 80 números.

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Idea de último momento, mirando a la simetría de la tabla, uno podría pensar en una manera más apropiada de abordar el problema es:

Elegir el penúltimo dígito. Hay cuatro de estas opciones.

Todos los tres de los tres primeros dígitos son el mismo modulo 3 o todos los tres son diferentes modulo 3.

En el primer caso, hay 2 maneras de asignar los dos primeros dígitos

En el segundo caso, elegir el modulo de clase el primer dígito es asignado para estas dos opciones.

Asignar dígitos para los dos primeros dígitos (aviso hay 3 opciones disponibles para cada uno desde cero está en uso) para un total de 9 de tales elecciones.

Como resultado se $4\cdot (2+2\cdot 9) = 80$ a dichos números.

Answer 2

El último dígito es $0$.

La siguiente a la última es aún. Llamarlo $a$.

Si $a=2$ los dos primeros dígitos' suma es 1, 4, 7, 10, 13 o 16. Contar cuántas posibilidades hay para cada uno. Por ejemplo, para 10 hay $7$ de posibilidades (orden de asuntos, y no olvides que los dígitos repetidos no están permitidos).

Hacer lo mismo para $a=4$, $6$ y $8$. Tenga en cuenta que, desde el $8-2$ es un múltiplo de tres, hay muchas posibilidades para $a=8$$a=2$.

Suma a todo esto.

Answer 3

Para producir la divisibilidad por $60$, necesitamos de divisibilidad por $3, 4$$5$. El dígito final $0$ cuida de $5$ y un factor de $2$, e incluso la elección de un dígito (de $\{2,4,6,8\}$) antes de que se ocupa el segundo factor de $2$. A continuación, para los dígitos antes de eso, tenemos una libre elección de los restantes $8$ dígitos, pero tenemos que elegir, de tal modo que el número entero es divisible por $3$. Esa parte es complicada al estado como un simple dígito de selección, principalmente debido a la ya elegida dígitos, pero sabemos que si nos permiten una libre elección (de $8$) en uno de los dígitos no puede ser más que $3$ posibilidades para el otro (y no puede ser inferior a $1$ posibilidad). Así que la respuesta se encuentra en algún lugar entre el $32$ $96$ posibilidades.

Me gustaría enumerar los múltiplos de $6$ no divisible por $10$ al finalizar el recuento, con la expectativa de que la respuesta está en algún lugar un poco por encima de $64$ diferentes combinaciones.