Si $E \subseteq \Bbb R$ es medible, entonces para todos los $\epsilon > 0$, $F \subseteq \Bbb R$ cerrado tal que $F \subseteq E$${\frak m}^*(E \setminus F) < \epsilon$.
Ya he hecho la caracterización por la apertura de los conjuntos, es decir, si $E$ es medible, para todos los $\epsilon > 0$, $O \subseteq \Bbb R$ abierto, de tal manera que $E \subseteq O$${\frak m}^*(O \setminus E) < \epsilon$.
Para que la caracterización, la he usado para todas las $A \subset \Bbb R$, determinado$\epsilon > 0$, $O \subseteq \Bbb R$ abierto tal que ${\frak m}^*O < {\frak m}^*A + \epsilon$. Acaba de tomar intervalos de $(I_j)_{j \geq 1}$ cubriendo $A$ tal que $\sum_{j \geq 1} \ell (I_j) < {\frak m}^*A + \epsilon$, así que vamos a $O = \bigcup_{j \geq 1} I_j$ si ${\frak m}^*A < +\infty$, e $O = \Bbb R$ si ${\frak m}^*A = +\infty $.
Yo estaba tratando de "copia" de esta prueba, y quiero empezar a probar el lema (que creo firmemente que es verdad):
Para todos los $A \subseteq \Bbb R$, determinado$\epsilon > 0$, $F \subseteq \Bbb R$ cerrado tal que ${\frak m}^*A < {\frak m}^*F + \epsilon$.
Bueno, si ${\frak m}^*A = 0$, tome $F = \varnothing$. Pero aparte de esto, mi intento no me va bien. Seguramente, si ${\frak m}^*A > 0$, podemos tomar intervalos de $(I_j)_{j \geq 1}$ cubriendo $A$ tal que $\sum_{j \geq 1} \ell (I_j) < {\frak m}^*A - \epsilon$, pero entonces, ¿qué? Infinito de la unión de conjuntos cerrados no necesita ser cerrado.
Otra idea es utilizar el resultado de la apertura de los conjuntos de $A^c$, por lo que el $A^c \subseteq O \implies O^c \subseteq A $, luego tome $F = O^c$. Pero no la puedo ver rápidamente cómo obtener la relación entre las medidas.
Voy en el camino correcto? Alguien me puede ayudar por favor?
