Poder (= cardinalidad) la teoría de la pregunta simple

Question

Deje $\leq$ ser una relación de orden parcial en $\Bbb{N^N}$ definida:

$f\leq g$ si y sólo si para todos $n\in\Bbb N$, $f(n)\leq g(n)$

parte inferior del cono de la función $f$ llamamos al conjunto de $D_f = \{g\in\Bbb{N^N}\mid g \leq f\}$

1. Indicar todos los números cardinales que son los poderes de la parte inferior del cono.
2. ¿Qué tipo de poder es un conjunto de funciones para la cual la parte inferior del cono es infinito?

Answer 1

¿Qué tipo de $f$ tienen la propiedad de que $D_f$ es finito? Esto significa que sólo hay un número finito de funciones que son menos o igual a $f$ en cada punto. Por ejemplo, si $f(n)=0$ todos los $n$,$D_f=\{f\}$. Si $f(0)=1$$f(n)=0$$n>0$, entonces sólo hay dos posibles funciones que se encuentran en $D_f$.

De ello se sigue que si $D_f$ es finito, a continuación, $f(n)=0$ para todos, pero un número finito de $n$'s. Pero, ¿cómo muchas de las funciones puede ser en $D_f$? Bueno, si $f(0)=k$ $f(n)=0$ de lo contrario, ¿cuánto funciones pueden ser en $D_f$? Sólo $k$. Pero esto es cierto para cada $k$, lo $D_f$ puede ser finito con cualquier posible finito de valor, excepto el cero.

La próxima vamos a ver qué pasa si $D_f$ es infinito. En tal caso, podemos decir que el $S_f=\{n\in\mathbb N\mid f(n)\neq 0\}$ es un conjunto infinito. Pero esto significa que $S_f$ tiene cardinalidad $\aleph_0$ e tiene $2^{\aleph_0}$ subconjuntos. Deje $A\subseteq S_f$, entonces la función del indicador de $\chi_A(n)=0$$n\notin A$$\chi_A(n)=1$$n\in A$, es tal que $\chi_A\in D_f$.

Hemos encontrado una inyección de un conjunto de cardinalidad $2^{\aleph_0}$ a $D_f$ sólo a partir de la suposición de que $S_f$ es infinito. Porque no sólo se $2^{\aleph_0}$ funciones $\mathbb{N^N}$ se sigue que $D_f$ puede ser finito o tiene el tamaño de $2^{\aleph_0}$.