¿Para qué sirven los sistemas axiomáticos?

Question

Soy un principiante en lógica y estoy un poco confundido sobre cuál es el propósito de los sistemas axiomáticos.

• Son los sistemas axiomáticos desarrollados para demostrar todos los teoremas de una determinada teoría. En caso afirmativo, ¿significa esto que el conjunto de axiomas de una teoría determinada se puede modificar cuando una afirmación no se puede demostrar o refutar con el conjunto de axiomas actual? Este parece ser el caso del desarrollo del conjunto de axiomas (de segundo orden) para los números reales donde para demostrar teoremas como la teorema del valor intermedio (IVT), se ha añadido el axioma de completitud. Este parece ser también el caso del desarrollo de axiomas para la geometría euclidiana

OU

• ¿Los sistemas axiomáticos se desarrollan para captar nuestra comprensión intuitiva de un conjunto de objetos y su funcionamiento? Por ejemplo, este parece ser el caso del sistema (de segundo orden) Axiomas de Peano para los números naturales.

Si el antiguo es correcto, entonces ¿significa esto que los axiomas de Peano se desarrollaron a lo largo de un periodo de tiempo mientras la gente intentaba demostrar teoremas sobre los números naturales?

Si este último es correcta, ¿significa esto que los axiomas se eligen de manera que su modelo se ajuste a nuestra comprensión intuitiva de la estructura? En otras palabras, ¿tienen los matemáticos el modelo en mente cuando proponen los axiomas? Si este es el caso, entonces todo el sistema axiomático debe ser consistente porque, fueron propuestos inicialmente teniendo un modelo en mente?

Por ejemplo, los axiomas de los números naturales se eligen de tal manera que los números que intuitivamente llamamos números naturales son el modelo de los axiomas, o los axiomas de los números reales se eligen de tal manera que lo que intuitivamente llamamos números reales ( supongo que nuestra comprensión intuitiva de los números reales viene de su asociación con la línea recta. ) se convierte en el modelo de los axiomas?

Sin embargo, para lo anterior (refiriéndose al este último ) sea verdadera, parece que el conjunto y los objetos del conjunto deben estar bien definidos. Por ejemplo, los axiomas de Peano definen los objetos mediante la función de sucesión $\mathbf{S}$ y un primer elemento $\mathbf{0}$ que son ambos indefinidos, y el axioma de inducción asegura que se excluyan los conjuntos que no corresponden a nuestra intuición sobre los números naturales, por ejemplo $\mathbb{N}~\cup~\{a,b,c\}$ . Del mismo modo, podemos definir los objetos de los números reales como cortes de los números racionales (cortes Dedekind), y entonces todos los conjuntos que no son completa están excluidos. Los términos indefinidos de este sistema axiomático son los números racionales.

Así que las preguntas son (i) ¿es esto (los conjuntos y el objeto necesitan ser definidos) una observación correcta?, (ii) ¿por qué es esto necesario y cómo es esto más formalmente declarado (cuáles son las terminologías correctas de la lógica matemática)?

En resumen:

1. ¿Cuál es la finalidad del sistema axiomático? ( ¿Es el antiguo o el este último ?)
2. Si el este último ¿se proponen sistemas axiomáticos teniendo en cuenta un modelo?
3. Si el este último ¿por qué es necesario definir los objetos y conjuntos con precisión?

Answer 1

Mi opinión: en la progresión de las matemáticas, se empieza por lo segundo y eventualmente se necesita abordar lo primero por el bien de consistencia . Esa es la palabra clave que responde a tus preguntas.

La gente entendió durante mucho tiempo qué son los números naturales, y cómo los creamos, cómo los manipulamos y los límites de los mismos (es decir, los números negativos no son números naturales).

Los métodos axiomáticos surgieron por un par de razones:

1. Cuando se hacen pruebas, hay que empezar en algún lugar y asumir que algunas cosas son ciertas. ¿Cuál es el conjunto mínimo de cosas que hay que asumir como verdaderas antes de poder demostrar las cosas?
2. Una vez que tienes el nº 1 alrededor, ¿cómo sabes que es consistente - Es decir, ¿cómo sabes que no puedes demostrar la afirmación 0=1 a partir de los axiomas que acabas de enumerar?

Teoría de los modelos es el estudio de estas cosas, y Teorema de Completitud de Gödel lo une todo muy bien al decir

Si hay un modelo para un conjunto de axiomas, entonces el conjunto de axiomas es consistente.

Así que los axiomas de Peano se muestran consistentes a través de los números naturales. Por cierto, hay muchas otras axiomizaciones para los números naturales.

Por último, las axiomizaciones nos ayudan a entender qué no puede ser probada. Por ejemplo, compruebe todas las cosas que no se pueden probar en ZFC que es el modelo estándar de la teoría de conjuntos.

Answer 2

Ciertamente no todo matemáticos siempre tienen modelos en mente cuando proponen un sistema axiomático: Los "Nuevos Fundamentos" de Quine, propuestos en un artículo de 1937, aún no han sido modelados (lo que significa que la consistencia relativa se muestra con ZFC).

La respuesta a tu pregunta depende del sistema axiomático. Para las teorías de conjuntos, la respuesta es la anterior. Se utilizan para interpretar "todas las matemáticas" en para garantizar la responsabilidad entre todos los matemáticos y sus demostraciones.

Para los sistemas axiomáticos que definen estructuras matemáticas, por ejemplo, "la teoría de un grupo", "la teoría de una categoría", etc., de los cuales los grupos, las categorías, etc. particulares son modelos, la respuesta suele ser la siguiente este último. El conjunto de axiomas que definen una categoría modelo de Quillen se escribe con el fin de formalizar nuestra intuición sobre lo que debería ser "una teoría de homotopía".