Problemas con dimensiones al solucionar una oda

Question

Me gustaría resolver la siguiente ecuación diferencial: $$\frac{dQ}{dt}=\frac{k_BT}{m}-\frac{\alpha Q}{m}$$ where $Q$ has units of $\text{m}^2\text{s}^{-1}$, $k_B$ is Boltzmann's constant, $T$ is temperature, $m$ is a mass and $\alpha$ has units $\text{kg s}^{-1}$.

La separación de variables me da $$\int\frac{dQ}{\frac{k_BT}{m}-\frac{\alpha Q}{m}}=\int dt$$ Por lo tanto $$-\frac{m}{\alpha}\ln\left(\frac{k_BT}{m}-\frac{\alpha Q}{m}\right)=t+C$$

Ahora, de repente, tengo algo que no se mantiene de pie cuando miro las dimensiones: tomando el logaritmo de un dimensionfull cantidad no tiene ningún sentido. Multiplicando por $-\frac{\alpha}{m}$ y exponentiating rendimientos $$\frac{k_BT}{m}-\frac{\alpha Q}{m}=e^{-\frac{\alpha t}{m}-C'}=C''e^{-\frac{\alpha t}{m}}$$ which is again problematic (left hand side has units $\text{m}^2\text{s}^{-2}$ mientras que el lado derecho es la radio sin unidades).

Mi pregunta es: ¿qué me estoy perdiendo aquí? Esta técnica de resolución de la educación a distancia es ampliamente utilizado, por lo que deben estar pasando por alto algo simple. Sin embargo, mi profesor era igual de perplejo como yo.

Answer 1

Cuando se utiliza este método de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, tenemos que ser cuidadosos de no usar la integral indefinida.

$\int\frac{dQ}{\frac{k_BT}{m}-\frac{\alpha Q}{m}}=\int dt$ se $\int\limits_{Q_0}^Q\frac{dQ}{\frac{k_BT}{m}-\frac{\alpha Q}{m}}=\int\limits_{t_0}^t dt$

Esto nos da

$$-\frac{m}{\alpha}\ln\left(\frac{k_BT}{m}-\frac{\alpha Q}{m}\right)+ \frac{m}{\alpha}\ln\left(\frac{k_BT}{m}-\frac{\alpha Q_0}{m}\right)=t-t_0$$

Como $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$, esto puede escribirse como

$$-\frac{m}{\alpha}\ln\left(\frac{k_BT-\alpha Q}{k_BT-\alpha Q_0}\right)=t-t_0$$

Que tiene una adimensional argumento del logaritmo.

Otra forma de verlo es que la constante de $c$ que recibió después de tomar la indefinida integral es de la forma $c_0-\ln(c_1)$ donde $c_1$ tiene las mismas unidades que la de $\frac{\alpha Q}{m}$.

Por lo general, en la mecánica (y la mayoría de los de la física), las integrales son definitivos, si no podemos escribir de esa forma.

También,mientras que la solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias, es una buena idea para normalizar todo a una cantidad adimensional antes de proceder a resolver. Esto no es una gran cosa para simple Odas, como el anterior, pero cuando se trata de complejos sistemas acoplados perder las unidades conduce a la disminución de las cosas para hacer un seguimiento de.