Conjunto infinito de primos estándar como el conjunto de divisores primos estándar de un número no estándar

Question

Supongamos que $(N, +, \cdot, 0, 1, <, =)$ es una subestructura elemental propia de $(N^*, +^*, \cdot^*, 0^*, 1^*, =^*, <^*)$ . Demuestre que existe algún (infinito) $b$ , donde $b N^*$ , tal que para cada número primo $p N$ , $N^* \models p | b$ si $p S$ , donde $S$ es un conjunto que contiene infinitos primos.

Answer 1

Si elegimos $S$ sea la colección de todos los primos estándar, entonces basta con establecer $b=H!$ para algún número entero infinito $H$ . Como el modelo estándar satisface la fórmula elemental que expresa el factorial, la misma fórmula evaluada en $H$ dará un entero no estándar divisible por todos los primos hasta $H$ por equivalencia elemental, y en particular por todos los primos finitos en $S$ .