Pregunta rápida: ¿puedo definir algunos interno del producto en cualquier espacio vectorial tal que se convierte en un producto interior el espacio? Si sí, ¿cómo puedo demostrarlo? Si no, ¿cuál sería un ejemplo contrario? Muchas gracias de antemano.
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CodingBytes
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Estoy suponiendo que el campo de tierra es ${\mathbb R}$ o ${\mathbb C}$, porque de lo contrario no está claro lo que es un "producto interior espacio".
Ahora cualquier espacio vectorial $X$ ${\mathbb R}$ o ${\mathbb C}$ tiene una llamada de la base de Hamel. Esta es una familia $(e_\iota)_{\iota\in I}$ de los vectores $e_\iota\in X$ de manera tal que cualquier $x\in X$ puede ser escrito de una manera única en la forma $x=\sum_{\iota\in I} \xi_\iota\ e_\iota$, donde sólo un número finito de $\xi_\iota$$\ne 0$. Desafortunadamente, usted necesita el axioma de elección para obtener una base, si $X$ no es finitely generado.
La definición de $\langle x, y\rangle :=\sum_{\iota\in I} \xi_\iota\ \bar\eta_\iota$ da un bilineal "producto escalar" en la $X$ tal que $\langle x, x\rangle>0$ cualquier $x\ne0$. Tenga en cuenta que en el cómputo de las $\langle x,y\rangle$ no hay duda de convergencia surge.
De ello se desprende que $\langle\ ,\ \rangle$ es un producto interior en $X$, y la adopción de la norma $\|x\|^2:=\langle x,x\rangle$ vueltas $X$ a de un espacio métrico de la forma habitual.
Cómo sobre espacios vectoriales sobre campos finitos? Finito campos no tienen un orden de subcampo, y por lo tanto uno no puede definir de manera significativa positiva definida interior del producto en espacios vectoriales sobre ellos.
