Parece que se da por sentado en todas las fuentes que $SO(3)$ es un submanifold de $\mathbb R^9$ . Sin embargo, la única prueba de esto que he podido encontrar tiene uno o dos pasos que no tienen mucho sentido para mí. (En Frankel, "The Geometry of Physics", si alguien está interesado.) ¿Puede alguien indicarme -o incluso proporcionarme aquí mismo- una prueba clara de este teorema?
Respuesta
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He aquí una prueba:
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Es homogéneo. De hecho, la multiplicación por $\mathbf A$ toma una vecindad de $\mathbf I$ a un barrio de $\mathbf A$ por una isometría, para cualquier $\mathbf A \in \mathbf SO(3)$ . Así que sólo tienes que demostrar que es un colector en $\mathbf I$ .
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Se trata de un manifiesto en $\mathbf I$ . Para ello, utiliza el teorema de la función implícita. Esto dice que si tienes un mapa $F: \mathbb R^9 \to \mathbb R^6$ que es habitual en $I$ entonces la preimagen cerca de $\mathbf I$ es difeomorfo a $\mathbb R^3$ . El mapa que utilizaremos consiste en $6$ componentes: el producto punto del $i$ columna con el $j$ columna para $(i, j) = (1,1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)$ . Los tres primeros aseguran que las columnas son vectores unitarios; los tres segundos que las columnas son ortogonales entre sí. Es evidente que $F^{-1}(0,0,0,0,0,0) = O(3)$ . Para terminar, hay que demostrar que $F$ es regular en $\mathbf I$ es decir, que $DF(\mathbf I)$ tiene el rango 6. Te lo dejo a ti, ya que es un cálculo sencillo.
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Obsérvese que esto también demuestra que $O(3)$ es un colector, por el mismo razonamiento, más o menos. SO(3) es sólo la componente conectada de la identidad.
