Dado un polinomio $f(x_1,... ,x_n)\in \mathbb{C}[x_1, ... ,x_n]$, se puede formular su (formal) en derivadas parciales con respecto a cada una de las $x_i$, decir $f_{i}$. Si $f\in \mathfrak{p}$ $f_{i}\in \mathfrak{p}$ por cada $i$, $\mathfrak{p}$ un primer ideal, tenemos $f\in \mathfrak{p}^2$ en general?
Respuesta
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Sí, esto es cierto. (Edit: Los comentarios de abajo muestran que este argumento sólo funciona para $\mathfrak p$ tal que $\mathfrak p^2$ es la principal. Si este no es el caso, el argumento de abajo da que exista $s\notin\mathfrak p$ tal que $sf\in\mathfrak p^2.$, En particular, para $\operatorname{ord}_Z (f)$ debemos localizar en $Z.$)
En el caso de $\mathfrak p=\mathfrak m_a=(x_1-a_1,\ldots,x_n-a_n)$ es el máximo ideal de un punto de $a\in\Bbb A^n_{\Bbb C},$ el hecho de que $f\in\mathfrak m_a$ es equivalente a $f(a)=0.$ El hecho de que $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)=0$ todos los $i=1,\ldots,n$ es equivalente a que el término lineal $f^{(1)}(x)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)(x_i-a_i)$ de la expansión de Taylor $f(a)+f^{(1)}(x)+\cdots+f^{(m)}(x)$ $f$ $a$ ser idénticamente cero en $a.$ En otras palabras $f(x)=f^{(2)}(x)+\cdots+f^{(m)}(x)$ en $a,$ que es equivalente a $f\in\mathfrak m_a^2.$
En el caso de un arbitrario prime $\mathfrak p\in\Bbb C[x_1,\ldots,x_n],$ sabemos que $f\in\mathfrak p$ es equivalente a $f\in\mathfrak m_a$ para todos los máximos ideales de la $\mathfrak m_a\supseteq\mathfrak p.$ Geométricamente, $f$ se desvanece a lo largo de la irreductible subvariedad $V(\mathfrak p)$ si y sólo si $f$ se desvanece en cada (cerrado) punto de $a\in V(\mathfrak p).$ Supongamos que $f\in\mathfrak p\subseteq\mathfrak m_a.$ Por lo anterior, si $\frac{\partial f}{\partial x_i}\in\mathfrak p$ por cada $i=1,\ldots,n,$ a continuación, $f\in\mathfrak m_a^2.$ $f\in\bigcap_{\mathfrak p\subseteq\mathfrak m_a}\mathfrak m_a^2.$
Deje $Z=V(\mathfrak p)\subseteq\Bbb A^n_{\Bbb C},$ y deje $I=(f)\subseteq\Bbb C[x_1,\ldots,x_n].$ El orden de la desaparición de $I$ a lo largo de $Z,$ denotado $\operatorname{ord}_Z(I),$ se define generalmente como
$$\max\{k~\vert~ I\subseteq I_Z^k\}=\max\{k~\vert~ (f)\subseteq \mathfrak p^k\}=\max\{k~\vert~ f\in\mathfrak p^k\},$$ y se sabe que más de algebraicamente cerrado campos de esto coincide con
$$\min_{a\in Z}\operatorname{ord}_a I=\min_{a\in Z}\left(\max\{k~\vert~ f\in\mathfrak m_a^k\}\right),$$ where $un\Z$ denotes closed points. Since $f\in \mathfrak m_a^2,$ we have $\max\{k~\vert~ f\in\mathfrak m_a^k\}\ge 2$ for all $\Z,$ which in particular implies that $\operatorname{ord}_Z(I)\ge2,$ i.e., $f\in\mathfrak p^2.$
Consulte el Apéndice a de este documento para obtener más información acerca de fuga de la orden de los ideales.
(Yo al principio quería mostrar directamente/algebraicamente que $f\in\bigcap_{\mathfrak p\subseteq\mathfrak m_a}\mathfrak m_a^2$ implica que el $f\in\mathfrak p^2,$ pero no he conseguido que funcione todavía. Yo estaría feliz de ver que se realice sin embargo, y pensar un poco más en él.)
