Series de Fourier de un mapa de conformación de la unidad de disco

Question

Dado que un mapa de conformación en el disco $\mathbb{D}$ siempre tendrá la forma $f(z)=\lambda \displaystyle\frac{z-w}{1-\overline{w}z}$ algunos $\lambda\in \partial \mathbb{D}$ y algunos $w\in \mathbb{D}$, ¿cuáles son los coeficientes de Fourier para $f(z)$ donde los coeficientes de Fourier está dada por $c_k=\displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(e^{i\theta})e^{-ik\theta}\frac{d\theta}{2\pi}=\lambda\int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i\theta}-w}{1-\overline{w}e^{i\theta}}e^{-ik\theta}\frac{d\theta}{2\pi}$?

Desde $f(z)$ es analítica, $c_k$ debe $0$$k<0$. Desde entonces y mapa interior del disco corresponde a una isométrica operador de Toeplitz, yo muy sospechoso que $c_k=0$ todos los $k\neq n$ algunos $n$ (e $|c_n|=1$). Pero, no puedo calcular cualquier buena forma de escribir la integral de decir esto.

Lo mejor que puedo decir es algo como $c_k= \displaystyle \lambda\int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i\theta}-w}{1-\overline{w}e^{i\theta}}e^{-ik\theta}\frac{d\theta}{2\pi}=\lambda\int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i\theta}-w}{e^{-i\theta}-\overline{w}}\frac{e^{-ik\theta}}{e^{i\theta}}\frac{d\theta}{2\pi}=\lambda\int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i\theta}-w}{\overline{e^{i\theta}-w}}e^{-i(k+1)\theta}\frac{d\theta}{2\pi}$,

que parece que no me lleve a nada.

Cualquier idea sobre cómo integrar esto?

Answer 1

De hecho, es mejor quedarse con $z$, o más específicamente, de $$ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(e^{i\theta}) e^{-ik\theta} \, d\theta, $$ set $z=e^{i\theta}$, lo $ dz/(iz) = d\theta $, y la integral se convierte en $$ \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=1} \frac{f(z)}{z^{k+1}} \, dz. $$ Ahora, $f$ es analítica, por lo que el teorema de los Residuos (o la de Cauchy de la integral de la fórmula) muestra que esta integral es igual a $ \frac{1}{k!}f^{(k)}(0) $ $k \geqslant 0$ y cero para $k<0$, debido al $k<0$ todo el integrando es analítica y de Cauchy teorema dice que la integral es cero (para $k \geqslant 0$, el uso de la expansión de Taylor, y así sucesivamente).

Así que, en realidad, usted puede apenas serie expandir $\lambda \frac{z-w}{1-\bar{w}z}$ y encontrar el coeficiente de $x^k$ encontrar la serie de Fourier. Esto funciona para cualquier función analítica en el disco (de esto usted puede, a través de una cuidadosa definiciones, encontrar la serie de Fourier de la función diente de sierra y la onda cuadrada, por ejemplo).

El análisis funcional de las propiedades que se refieren a supuestamente se manifiesta en la negativa de los coeficientes son cero.