$f(S\cap T) \neq f(S) \cap f(T)$
pero
$f^{-1}(Q \cap R)=f^{-1}(Q) \cap f^{-1}(R)$
¿Puedes explicarlo en términos sencillos, para que entienda el porqué y desarrolle la intuición de ver si una afirmación es verdadera o falsa con sólo mirarla?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
medicine28
Puntos
16
Supongamos que $x\in f^{-1}(Q\cap R)$ . Entonces $f(x)\in Q\cap R$ y en particular, $f(x)\in Q$ y $f(x)\in R$ . Así, $x\in f^{-1}(Q)$ y $x\in f^{-1}(R)$ y tenemos $x\in f^{-1}(Q)\cap f^{-1}(R)$ . Esto nos da que $f^{-1}(Q\cap R)\subset f^{-1}(Q)\cap f^{-1}(R)$ .
Por otro lado, supongamos que $x\in f^{-1}(Q)\cap f^{-1}(R)$ . Entonces $x\in f^{-1}(Q)$ y $x\in f^{-1}(R)$ Así que $f(x)\in Q$ y $f(x)\in R$ Por lo tanto $f(x)\in Q\cap R$ . Esto nos dice $x\in f^{-1}(Q\cap R)$ Por lo tanto $f^{-1}(Q)\cap f^{-1}(R)\subset f^{-1}(Q\cap R)$ .
Con estos dos argumentos, tenemos $f^{-1}(Q)\cap f^{-1}(R)= f^{-1}(Q\cap R)$ .
Lissome
Puntos
31
La principal diferencia entre ambas afirmaciones es la siguiente:
Teniendo en cuenta algunos $x$ en el $f^{-1}$ (algo) sólo existe UNO $y$ para que $f(x)=y$ . Esto se utiliza en la prueba de la otra inclusión para la igualdad....
PERO, teniendo en cuenta algunas $y$ en $f($ algo), podrían existir diferentes $x$ tal que $f(x)=y$ . En realidad, es fácil ver que para un $f$ se puede encontrar $S,T$ para que $F(S \cap T) \neq f(S) \cap f(T)$ si y sólo si esto sucede (es decir, si $f$ no es uno a uno).
user43208
Puntos
4562
He aquí otra forma de verlo, basada en última instancia en ideas de la teoría de las categorías (adjunciones).
Supongamos que tenemos una función $f: X \to Y$ . La conexión básica entre la imagen directa $f(-): P(X) \to P(Y)$ entre conjuntos de potencia e imagen inversa $f^{-1}(-): P(Y) \to P(X)$ es que para $A \in P(X)$ , $B \in P(Y)$ tenemos
$$f(A) \subseteq B\;\;\; \text{iff}\;\;\; A \subseteq f^{-1}(B).$$
Si $\{B_i\}_{i \in I}$ es una familia de subconjuntos de $Y$ tenemos
$$A \subseteq f^{-1}(\bigcap_{i \in I} B_i) \;\; \text{iff} \;\; f(A) \subseteq \bigcap_{i \in I} B_i \;\; \text{iff}\;\; \forall_{i \in I} f(A) \subseteq B_i \;\; \text{iff} \;\; \forall_{i \in I} A \subseteq f^{-1}(B_i) \;\; \text{iff}\;\; A \subseteq \bigcap_{i \in I} f^{-1}(B_i).$$
Poner $A = f^{-1}(\bigcap_{i \in I} B_i)$ y razonando hacia adelante, obtenemos $f^{-1}(\bigcap_{i \in I} B_i) \subseteq \bigcap_{i \in I} f^{-1}(B_i)$ . Poniendo $A = \bigcap_{i \in I} f^{-1}(B_i)$ y razonando hacia atrás, obtenemos $\bigcap_{i \in I} f^{-1}(B_i) \subseteq f^{-1}(\bigcap_{i \in I} B_i)$ . De ambas contenciones, obtenemos la igualdad.
Lo bueno de este estilo de demostración es su portabilidad y generalidad: se extiende mucho más allá del contexto específico de la teoría de conjuntos considerado aquí.
goblin
Puntos
21696
La visualización es, con mucho, la técnica más poderosa para perfeccionar la comprensión matemática. Aprovechémosla.
Empieza sacando papel y un bolígrafo. Coloca 12 puntos a la izquierda y 5 a la derecha, representando dos conjuntos $X$ y $Y$ .
Ahora dibuja una función arbitraria. Bien, no bastante arbitraria. Asegúrate de que ninguna línea se cruza - esto hará que sea más fácil de visualizar. Asegúrate también de que cada punto de la derecha se corresponde con al menos un punto de la izquierda. De nuevo, es más fácil de visualizar.
Ahora mira fijamente tu hoja de papel un poco. Observa que
- Cada $f^{-1}(y)$ no está vacío.
- Si $y$ y $y'$ son distintos, tenemos que $f^{-1}(y)$ y $f^{-1}(y)$ son disjuntos.
Así, las preimágenes de los elementos de $Y$ partición $X$ . Y cada bloque $B \subseteq X$ a la izquierda tiene un "nombre" muy sensato o etiqueta , es decir, el único $y$ a la derecha, de manera que $f^{-1}(y) = B$ . Así que, en cierto sentido, los bloques de la izquierda y los elementos de la derecha son "iguales". Están en correspondencia biyectiva.
Ahora saca un lápiz. Dibuja dos subcírculos $P$ y $Q$ a la derecha, calcular su intersección. Son tres conjuntos de interés, a saber $P,Q$ y $P \cap Q$ . Ahora calcule la preimagen de $f^{-1}(P).$ Obsérvese, en particular, que $f^{-1}(P)$ es la unión disjunta de todas las $f^{-1}(p)$ tal que $p \in P.$ Es una unión disjunta de bloques, al igual que $P$ es una unión disjunta de los singletons $\{p\}$ con $p \in P$ .
Calcule también $f^{-1}(Q)$ y $f^{-1}(P \cap Q)$ . ¿La intersección de $f^{-1}(P)$ y $f^{-1}(Q)$ exactamente igual $f^{-1}(P \cap Q)?$ Seguro que sí. ¿Por qué son iguales? Porque los elementos de $Y$ se comportan igual que los bloques de $X$ .
Bien, ahora saca una goma de borrar, deshazte de los subconjuntos del lápiz y dibuja algunos nuevos. Lavar, enjuagar y repetir. Muy rápidamente, va a tener mucho sentido.
Ahora vuelve a sacar el bolígrafo y añade algunos puntos redundantes a la derecha de forma que $f^{-1}(y)$ está vacío. A continuación, haz otro cálculo (¡con lápiz!) para convencerte de que, en esencia, nada ha cambiado.
El siguiente paso es, practica la visualización en tu mente. El truco es que no te atasques en los detalles. ¿Algo en particular $f^{-1}(y)$ ¿tiene tres elementos, o cinco elementos? ¡QUÉ IMPORTA! Lo importante es poder ver en tu mente que los puntos de la derecha en el rango (imagen) de la función se corresponden de forma biyectiva con los bloques de la izquierda. Una vez más, permítanme reiterar que está bien imaginar que la función está formada por segmentos de línea no superpuestos. En esencia, no se pierde ninguna generalidad.
Muy pronto (puede llevar entre 10 minutos de pensamiento intenso y 5 semanas de práctica continua), todo parecerá bastante obvio. Una vez que parezca obvio, intenta probar la afirmación tú mismo, basándote en la introspección. Siga preguntándose: "¿Por qué es tan obvio para mí que debe ser cierto?" y esto te guiará a la hora de escribir una prueba que sea lo más perspicaz posible para usted .
