Deje $\mathcal F_n$ $\sigma$- álgebra generada por el los intervalos de $((j - 1)2^{-n}; j2^{-n}], j = 1, 2, ... , 2^n$, en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal F, P)$ donde $Ω$ es $[0, 1]$, $\mathcal F$ el Borel $\sigma$-álgebra, y $P$ medida de Lebesgue. Deje $X$ ser un almacén de función continua en $[0, 1]$. Mostrar que la secuencia de ${\{Y_n}\}={\{E(X|\mathcal F_n)}\}, n = 1, 2, ..., $ converge.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Fix $w$ que define a una única secuencia $\{w_j\}$ y considerar el comportamiento de $Y_n(w)$ esto $w$$n\to\infty$. Recordemos que $$Y_n(w)=\sum_{j=1}^{2^n} c_j I_{\left(\frac{j-1}{2^{n}}, \frac{j}{2^{n}}\right]}(w).$$ El valor $$ w=\frac{w_1}{2}+\frac{w_2}{2^2}+\ldots+\frac{w_n}{2^n}+\sum_{j=n+1}^\infty \frac{w_j}{2^j} $$ pertenece al intervalo de $\left(\frac{j_n-1}{2^{n}}, \frac{j_n}{2^{n}}\right]$ fib $$\frac{j_n-1}{2^{n}} = \frac{w_1}{2}+\frac{w_2}{2^2}+\ldots+\frac{w_n}{2^n}=\frac{\lfloor{2^n w}\rfloor}{2^n}\; \text{ and } \; \frac{j_n}{2^{n}} =\frac{\lceil{2^n w}\rceil}{2^n}.$$ Entonces $$Y_n(w)= c_{j_n} = 2^n \int_{\tfrac{\lfloor{2^n w}\rfloor}{2^n}}^{\tfrac{\lceil{2^n w}\rceil}{2^n}} {X(s)ds}.$$
El Valor medio teorema implica que la r.h.s. de la anterior igualdad es igual a $X(w_{n,w}),$ donde $w_{n,w}$ es algún punto en el intervalo de $\left({\tfrac{\lfloor{2^n w}\rfloor}{2^n}},\;{\tfrac{\lceil{2^n w}\rceil}{2^n}}\right]$: $$ Y_n(w)=X(w_{n,w}), \;\; \frac{\lfloor{2^n}\rfloor}{2^n}<w_{n,w}\leq \frac{\lceil{2^n}\rceil}{2^n}. $$ Desde $|w_{n,w}-w|\leq 2^{-n}$, la continuidad de $X(s)$ implica que el $Y_n(w)=X(w_{n,w})$ converge a$X(w)$$n\to\infty$.
