Para bijection $f:A \rightarrow B$, demuestran que, a $f^{-1} \circ f = {\text {id}}_{A}$

Question

Tengo que demostrar que para un bijection $f:A \rightarrow B$, $f^{-1} \circ f = {\text {id}}_{A}$, donde ${\text {id}_A}$ es la función identidad de $A$, y definimos $f^{-1}: B \rightarrow A$ $f^{-1}(b) = a$ si $f(a)=b$. Esta definición está dada por la tarea de símbolo de sistema, así que creo que es seguro asumir que.

Aquí está mi trabajo:

Para$a \in A$$b \in B$, hemos definido que si $f(a)=b$,$f^{-1}(b)=a$, lo $f^{-1}(f(a))=a$, lo $f^{-1} \circ f:A\rightarrow A$. Sabemos ${\text{id}}_A:A\rightarrow A$ es el bijective función s.t. $\forall a \in A, {\text{id}}(a)=a$. Como los dominios de las funciones son iguales y $\forall a \in A, (f^{-1}\circ f)(a) = {\text {id}}_{A}(a)$, las dos funciones son iguales.

Por favor alguien puede confirmar si es suficientemente riguroso, o si no, sugerir mejoras?

Answer 1

En virtud de la definición dada de $f^{-1}$, la prueba es correcta.

Dependiendo de lo que usted está autorizado a asumir, puede ser necesario (o, en cualquier caso, un buen ejercicio) para demostrar que $f^{-1}:B \to A$, es decir, que el dominio de la $f^{-1}$ como se da es $B$, y su codominio es $A$.