Ampliación de celulares mapas entre asféricas complejos

Question

En un artículo que he leído, el autor parecía el uso de una propiedad similar a:

Deje $X, Y$ dos asféricas de CW-complejos y $f : X^{(2)} \to Y^{(2)}$ ser un mapa de celulares entre sus 2 esqueletos. A continuación, $f$ se extiende a un mapa de celulares $\tilde{f} : X \to Y$.

Filial pregunta: Si $f$ a, puede $\tilde{f}$ ser elegidas en?

Yo realmente no trabajo con homotopy grupos, ¿tiene usted una referencia para este tipo de propiedad? (en Hatcher libro?)

Answer 1

Si $Y$ es esférico y la ruta de acceso conectado, a continuación, un mapa de $f : X^{(2)} \to Y$ puede ser extendido a $\tilde{f} : X \to Y$. Este es un caso especial de la extensión de lema (lema 4.7) en Hatcher Topología Algebraica:

Dado un CW par $(X, A)$ y un mapa de la $f : A \to Y$ $Y$ trayectoria-conectado, a continuación, $f$ puede ser extendido a un mapa de $X \to Y$ si $\pi_{n−1}(Y) = 0$ todos los $n$ tal que $X - A$ tiene celdas de dimensión $n$.

El resultado de la extensión no es en general. Por ejemplo, considere la inclusión de $X \hookrightarrow X \times X$ donde $X$ es asféricas y $\dim X = 2$.

Edit: Como Lano señala en los comentarios, si desea que la extensión a celular, usted puede tomar el celular de la aproximación de $\tilde{f}$, manteniendo $\left.\tilde{f}\right|_A = f$ fijo. Este es el teorema 4.8 en Hatcher del libro.