Demostrando declaración sobre convergente secuencia $(a_n)$ y la secuencia de $(\max\{a_n,a_n^2\})$

Question

Supongamos $(a_n)$ es una secuencia y $\lim_{n\to\infty} a_n = a$ y deje $(b_n)=(\max\{a_n,a_n^2\})$. Tengo que probar/refutar que:

• Si $a>1$ $\lim_{n\to\infty} b_n = a^2$

• Si $a=1$ $\lim_{n\to\infty} b_n = 1$

Yo creo que ambas cosas son verdad, pero no puedo probarlo, aunque es intuitivo y fácil. Cualquier sugerencias?

Answer 1

$$ \lim_nb_n=\max\{a,un^2\}=\begin{cases}a^2 & \mbox{ if } a>1\\ 1 &\mbox{ if } a=1\end{casos}. $$

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Añadido a la prueba Desde $$ \max\{x,y\}=\frac{x+y+|x-y|}{2} \quad \forall x,y\in \mathbb{R} $$ tenemos \begin{eqnarray} |\max\{x_1,y_1\}-\max\{x_2,y_2\}|&=&\frac12\left|x_1+y_1+|x_1-y_1|-x_2-y_2-|x_2-y_2|\right|\\ &\le&\frac12|x_1-x_2|+\frac12|y_1-y_2|+\frac{\left||x_1-y_1|-|x_2-y_2|\right|}{2}\\ &\le& \frac12|x_1-x_2|+\frac12|y_1-y_2|+\frac{|x_1-y_1-x_2+y_2|}{2}\\ &=& \frac12|x_1-x_2|+\frac12|y_1-y_2|+\frac{|x_1-x_2-(y_1-y_2)|}{2}\\ &\le& \frac12|x_1-x_2|+\frac12|y_1-y_2|+\frac12|x_1-x_2|+\frac12|y_1-y_2|\\ &=&|x_1-x_2|+|y_1-y_2|. \end{eqnarray} Por lo tanto, si $\lim_nx_n=x$$\lim_ny_n=y$, luego $$ \lim_n|\max\{x_n,y_n\}-\max\{x,y\}|\le \lim_n\left[|x_n-x|+|y_n-s|\right]=0, $$ es decir,$\lim_n\max\{x_n,y_n\}=\max\{x,y\}$.

Answer 2

Supongamos $(a_n)$ es una secuencia y $\lim_{n\to\infty} a_n = a$.

Entonces usted sabe por álgebra de límites que $\lim_{n\to\infty} a_n^2 = a^2$. - Hecho 1. Este es un hecho básico, así que usted puede buscar en el internet, pero creo que deberían haber aprendido que.

Ahora supongamos $a>1$. Por lo $a-1 = \varepsilon, \exists \varepsilon > 0$. Entonces existe un $M_1$ tal que para todo $n>M_1$, $a - |a_n| = |a| - |a_n| \leq||a| - |a_n|| \leq |a - a_n| < \varepsilon = a-1$.

Por lo $- |a_n| < - 1$ por lo tanto $|a_n|>1$ todos los $n>M_1$.

Ahora $\max\{a_n,a_n^2\} = a_n^2$ desde $|a_n|> 1$ todos los $n>M_1$. Ahora sabemos de hecho 1 que para todos los $\delta > 0$, existe un $M_2$ tal que para todo $n>M_2$, $|a_n^2 - a^2|<\delta$. Deje $M = \max\{M_1,M_2\}$. Sofor todos $n>M$, $|\max\{a_n,a_n^2\} - a^2| = |a_n^2 - a^2| <\delta$

Ahora supongamos $a = 1$, ambas secuencias, $a_n^2$ $a_n$ tienden a $1$ por el Hecho 1. Ahora que significa para todos los $\epsilon >0$ existe $N_1$ tal que para todo $n>N_1$, $|a_n - 1| < \epsilon$ y existe $N_2$ tal que para todo $n>N_2$, $|a_n^2 - 1| < \epsilon$. Tome $N:=\max\{N_1,N_2\}$. De modo que existe $N$ tal que para todo $n>N$, $|a_n - 1| < \epsilon$ y $|a_n^2 - 1| < \epsilon$, por lo tanto $|\max\{a_n,a_n^2\} - 1| < \epsilon$ .

Answer 3

Para $a > 1$:

Por el límite de la definición de $\lim_{n\to\infty}a_n=a$, hay un $N \in \mathbb N$ con $$n > N \Rightarrow |a_n-a| < \epsilon.$$ para todos los $\epsilon > 0$. Deje $\epsilon = \frac{a-1}{2}$,$1 < a-\epsilon$, y por lo tanto, para todos los $n > N: a_n > 1$. De esto sabemos, de nuevo por todos los $n > N$,$a_n^2 > a_n$. Por lo tanto, podemos concluir que $\lim_{n\to\infty} \max\{a_n, a_n^2\} = \lim_{n\to\infty} a_n^2 = a^2$.

El otro caso puede ser resuelto de una forma similar.