Probar: $\operatorname{E}[X^2]<\infty\Longrightarrow \operatorname{E}[X]$ existe

Question

No sé cómo probar esto. Supongamos que, $X$ es una variable aleatoria discreta. He llegado a este momento: Si hacemos una prueba directa de la implicación, entonces empezamos con la asunción: $$ \operatorname{E}[X^2]=\sum_{x_k\en Im(X)} x_k^2\cdot p_X(x_k) <\infty. $$ Sin embargo, no sé cómo puedo seguir a partir de esto que $\operatorname{E}[X]$ existe.

Answer 1

Tenemos $|X|\leq1+X^2$ y, en consecuencia, $$\mathbb E|X|\leq1+\mathbb EX^2$$

Por lo $\mathbb EX^2<\infty$ permite la conclusión de que $\mathbb EX$ existe.

Answer 2

Incluso una declaración más general, que se muestra aquí, es si $$ \mathbb E(|X^r|)< \infty $$ entonces para cualquier entero positivo $s<r$, el $s$-ésimo momento $\mathbb E[|X^s|]$ es también finito (y por lo tanto $\mathbb E[X^s]$ existe).

Esto se puede hacer notar que $0<s<r \Longrightarrow |X|^s \le \max(1, |X|^r) $.

Answer 3

Soy un gran fan de Jenson la desigualdad de la probabilidad de medidas, para$f(x)=x^r$$r\geq 1$, implica:

$$f(E[X]])\leq E[f(X)],$$

lo que da, después de la reorganización de:

$$E[X]\leq E[X^r]^{1/r}$$

Answer 4

He aquí otro; el Uso de Cauchy-Schwartz desigualdad.

$$E|X| = E|X|\cdot 1 \le \|1\|_2 \|X\|_2 = \left(E|X|^2\right)^{1/2}.$$