El orden de un no-grupo abelian es $pq$ donde $p$ $q$ son números primos tales que $p<q$. Mostrar que $p\mid q-1$ (sin nada que ver con la del teorema de Sylow). Cómo empezar? He intentado ya un cierto número enfoque teórico utilizando la identidad de Bezout. Pero, nada funcionó conmigo.
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- Grupos de orden $pq$ sin utilizar los teoremas de Sylow (5 respuestas )
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dean Hall
Puntos
111
Mostrar que si $p \nmid q - 1$, $G$ es abelian, es decir,$Z(G) = G$.
Podemos suponer que la $Z(G) = 1$ entonces. Tenga en cuenta que $G$ debe contener un elemento $g$ orden $q$. Deje $H = \langle g \rangle $. Ya que tiene el índice de $p$, es normal, es decir, el normalizador $N(H)$$G$. Además, el centro es trivial para el centralizador de $H$, $C(H)$ es $H$ sí. El cociente de estos dos, que es $G/H$ es un grupo de orden $p$ (el índice), que es isomorfo a un subgrupo de los automorfismos de a $H$. Sin embargo, $H$ cíclico de primer orden $q$ significa que se ha pedido a $q-1$, así que por la del Teorema de Lagrange, $p \mid q -1$ lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $Z(G) = G$.
