La dimensión de la suma de subespacios $(U_1,\ldots,U_n)$

Question

Si $U_1$ y $U_2$ son subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita, entonces $$\dim(U_1+U_2) = \dim U_1+\dim U_2-\dim(U_1 \cap U_2).$$

¿Cómo se puede generalizar esta noción a un conjunto de $n$ subespacios $U_1,\ldots,U_n$ ?

O qué hace $\dim(U_1+\cdots+U_n)$ ¿Igual?

Answer 1

Podemos escribir $U_1+U_2+\cdots$ como la suma de dos subespacios, por ejemplo $U_1+(U_2+U_3+\cdots)$ y luego: \begin {Ecuación} \dim (U_1+U_2+ \cdots )= \dim (U_1)+ \dim (U_2+U_3+ \cdots )- \dim (U_1 \cap (U_2+U_3+ \cdots )). \end {ecuación} Entonces, aplicando el mismo argumento al término $\dim(U_2+U_3+\cdots)$ recursivamente se puede llegar a una ecuación que consiste en la suma de las dimensiones de cada subespacio menos un montón de términos desagradables que implican intersecciones similares a $\dim(U_1\cap(U_2+U_3+\cdots))$ .