La continuidad de la función sign

Question

Tal vez es bien sabido que el signo de la función es discontinua, si se ha definido para $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$. Sin embargo, si tuviéramos que definir el signo de la función de $f:\mathbb{R} \setminus \left \{ 0 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$, sería el signo de la función sigue siendo discontinuo?

Mi creencia es que sí, simplemente porque en cualquier $x_{0}>0$ o $x_{0}<0$ la función no sea continua en virtud de la épsilon-delta prueba (no existe un valor de $\varepsilon$ donde $\left |f(x)-f(x_{0}) \right | < \varepsilon $ no está satisfecho.) Es mi razonamiento correcto?

Answer 1

Cualquier función se convierte en continua si se quita sus puntos de discontinuidad de la de dominio.

En tu caso, la única discontinuidad es en $0$, por lo que mediante la eliminación de $0$ desde el dominio de la función continua.

Answer 2

Si queremos expulsar $0$ desde el dominio, el signo de la función se convierte en continuo (de hecho, incluso es localmente constante). Para $x\ne 0$ (e $\epsilon>0$) recoger $\delta=|x|$. Entonces usted tiene $f(y)=f(x)$ todos los $y$$|y-x|<\delta$.

Más curiosidades: Contrariamente a la creencia popular, la función dada por $f(x)=\frac1x$ es continua en su dominio de definición)! Simplemente no está definida donde sería discontinua.