Es esta una integral elíptica o no?

Question

Estoy trabajando con la siguiente ecuación diferencial: $$4\left(\frac{dz}{dx}\right)^2+z^4=4$$ En cambio, este rendimientos $$\frac{dz}{dx}=\frac{\sqrt{4-z^4}}{{2}}$$ El uso de $z=\sqrt{2}\tan \theta$, además de obtener $$\frac{d\theta}{\sqrt{1-2\sin^2\theta}}=\frac{dx}{\sqrt{2}}$$

Ahora, según este, este, este y otros enlaces, el término de la izquierda es una integral elíptica. Pero Mathworld dice que, para una integral elíptica de la forma $\frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}$, el límite en $k$ está dado por $$0<k^2<1$$

Pero para mi integral, $k^2=2>1$. Que también me causa dificultad en la numéricamente tratando de integrar el problema.

Puede que alguien me diga lo que es correcto y lo que no y cómo debo proceder para integrar el lado izquierdo de la ecuación, de forma numérica (o si es posible analíticamente)?

Answer 1

$$\frac{dz}{dx}=\pm\frac{\sqrt{4-z^4} }{{2}}$$ $$dx=\pm 2\frac{dz}{\sqrt{4-z^4}}$$ $$x(z)=\pm 2\int\frac{dz}{\sqrt{4-z^4}}+c$$ Esta es una integral elíptica de primera especie.

La función inversa $z(x)$ es un Jacobi elíptica de la función : $$z(x)=\pm \sqrt{2}\text{ sn}\left(\frac{x-c}{\sqrt{2}} \: \Bigg| \: -1 \right)$$ sn$(u|m)$ es la Jacobi elíptica función seno, con $u=\frac{x-c}{\sqrt{2}}$$m=-1$. Ver : https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_elliptic_functions

Answer 2

Esta ecuación es muy interesante, en la que los puntos de $(z, z') = (\sqrt{2}, 0)$ $(-\sqrt{2},0)$ son equilibrios. Así que cuando $z$ aciertos $\pm\sqrt{2}$ la solución no se extiende de manera natural. Supongo que cualquier físicamente significativa solución inmediatamente escapar de este equilibrios. Una de estas soluciones es

$$ z(x) = \sqrt{2} \operatorname{dn} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \, \middle| \, 2\right), $$

que satisface $z(0) = \sqrt{2}$$z'(0) = 0$. Aquí, $\operatorname{dn}(\cdot \mid m)$ es la Jacobi delta de amplitud y estamos adoptando la convención que $m = k^2$ es el parámetro y $k$ es la elíptica en el módulo. Esto al menos proporciona una manera de calcular $z(x)$, pero no estoy seguro de si $\operatorname{dn}$ puede ser fácilmente calculada en forma numérica.

Por último, aquí están algunos cálculos usando Mathematica.

Answer 3

Las soluciones de $$a\left(\frac{dz}{dx}\right)^2+z^4=b$$ se dan en términos de la Jacobi elíptica función $$z=\pm\sqrt[4]{b}\, \text{sn}\left(\left.\frac{\sqrt[4]{b} }{\sqrt{a}}x+c\right|-1\right)$$

Answer 4

Como complemento a las bellas respuestas, ya proporcionada por Sangchul y M. Jacquelin:

La elíptica funciones (no las integrales elípticas!) que resolver la no lineal de la educación a distancia se presenta en el OP satisfacer lo que se llama el recíproco del módulo de e imaginaria del módulo de identidades, que son útiles en los respectivos casos de $k>1$ y puramente imaginario $k$.

(En este punto, me gustaría recordar a todo el mundo a la mente el argumento de convenciones; el estado de los asuntos ya es confuso ya que no lo es).

Por ejemplo, con M'sieur Jacquelin la solución, la aplicación de este imaginario módulo de identidad de los rendimientos

$$\sqrt{2}\,\operatorname{sn}\left(\frac{x-c}{\sqrt{2}}\middle|-1\right)=\operatorname{sd}\left(x-c\middle|\frac12\right)$$

(o $\operatorname{sd}\left(x-c,\frac1{\sqrt 2}\right)$ si se prefiere el uso de los módulos en lugar de los parámetros).

(Una operación similar se puede hacer para que la respuesta de M. Leibovici.)

Sangchul la solución de OTOH, admite una recíproca módulo de transformación:

$$\sqrt{2} \operatorname{dn} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \, \middle| \, 2\right)=\sqrt{2}\operatorname{cn}\left(x\middle| \frac12\right)$$

De interés es que todos los transforma respuestas ahora ha $m=\frac12$, que ahora es más susceptible de AGM-tipo de cálculos a diferencia de los formularios con los parámetros fuera de $[0,1)$.