Puede un mapa continuo $S^2 \rightarrow S^2$ preservan ortogonalidad sin ser una isometría?

Question

Supongamos que tengo un mapa de $\phi: S^2 \rightarrow S^2$, y sé que

a) $\phi$ es continua y bijective

b) Si $a$ $b$ sobrepasan un ángulo de $\pi / 2$ en el centro de la esfera, entonces do$\phi(a)$$\phi(b)$.

De lo anterior se sigue que el $\phi$ es una isometría de la esfera?

Si sí, se puede esbozar una prueba?

Si no, puede proporcionar un ejemplo de un no-isometría $\phi$ la satisfacción de los anteriores?

(También, en cualquier caso, es el requisito de que $\phi$ ser bijective redundante?)

Answer 1

En el caso de que usted está dispuesto a asumir que el mapa es una vez diferenciable, la respuesta es sí.

Croquis de la prueba:

Hay una dualidad entre los grandes círculos en $\mathbb{S}^2$ y las líneas en $\mathbb{R}^3$: se puede identificar un gran círculo en $\mathbb{S}^2$ con el avión en $\mathbb{R}^3$, que contiene la gran círculo, y luego se identifican con la línea que es normal al plano. En otras palabras, usted puede escribir $C_v = \{ w\in \mathbb{S}^2 | w\cdot v = 0 \}$ cualquier $v\in\mathbb{S}^2$.

La preservación de la ortogonalidad significa, por tanto, que el mapa $\phi$ envía grandes círculos a gran círculos.

Además, se observa que la fijación de un punto de $p\in \mathbb{S}^2$, podemos identificar su tangente de las direcciones con la colección de todos los grandes círculos a través de ella. Para $\eta,\omega\in T_pM$, el ángulo entre ellos puede ser medido por el ángulo entre su correspondiente grandes círculos, que es el mismo que el ángulo entre sus correspondientes vectores duales.

Así que: si $\phi$$C^1$, el diferencial de $d\phi$ define un lineal mapa entre la tangente espacios. Que $\phi$ conserva las direcciones ortogonales ahora implica que $d\phi$ conserva las direcciones ortogonales. Por lo tanto $d\phi$ debe ser conformada! (Ya que es lineal y preserva ortogonalidad.) Por lo $\phi$ es un mapa de conformación de la esfera. Pero recordar de nuevo que el $\phi$ conserva todos los grandes círculos--cualquier conformación automorphism de la esfera que conserva todos los grandes círculos debe ser una isometría.