Seguramente, $L_n$ no puede crecer de manera exponencial, ya que no exceda el $n$; esto es sólo un raro error. Pero la segunda suposición es correcta: el orden de $L_n$ es exactamente $n$. Sin embargo, $L_n/n$ no converge a una constante, pero a una distribución. Una forma rápida de ver esto es la observación de que $L_n = n$ con una probabilidad de $(1-\gamma/n)^n \to e^{-\gamma}$. Pero es posible identificar el límite de distribución de forma explícita.
Deje $T^n_k$ ser el momento en que $k$th cola aparece, y $X_n = \#\{k\le n: T_k^n\le n\}$ el número de colas en la primera $n$ volteretas. Tiene un binomio $(n,\gamma/n)$ distribución. Es bien sabido que $X_n$ converge en distribución, como $n\to\infty$, para una variable aleatoria $X$ con distribución de Poisson con parámetro de $\gamma$.
Además, es fácil ver que, dado $X_n = k$, la $\{T^n_1,T^n_2,\dots,T^n_k\}$ es distribuido uniformemente entre los $k$-subconjuntos de a $1,\dots,n$. Por lo tanto, como $n\to\infty$, la distribución de $(T^n_1/n,T^n_2/n,\dots,T^n_k/n)$ $X_n=k$ converge a la distribución uniforme en $$\mathbb{S}_k = \{(x_1,\dots,x_k): 0\le x_1\le \dots\le x_k\le 1\}.$$ The lengths of head runs in first $n$ flips are just $T^n_i-T^n_{i-1}-1$, $i\ge 1$, and $n-T^n_{X_n}$. Therefore, given $X_n=k$, these lengths, divided by $n$, converge in distribution to $(S_1,\dots,S_{k+1}) = (\tau_1, \tau_2 - \tau_1,\tau_3-\tau_2,\dots,\tau_k - \tau_{k-1},1-\tau_k)$, where the vector $(\tau_1,\dots,\tau_k)$ is uniformly distributed over $\mathbb S_k$.
Como resultado, $L_n/n$ $X_n=k$ converge en distribución, como $n\to\infty$, a
$$
M_k = \max\{S_1,\dots,S_{k+1}\},
$$
donde el vector $(S_1,\dots,S_{k+1})$ es distribuido uniformemente sobre el simplex $\mathbb T_{k+1} = \{(x_1,\dots,x_{k+1}) : x_i\ge 0, x_1+\dots + x_{k+1} = 1\}$.
De ahí que podamos encontrar la distribución de $L$. Tiene el átomo en $1$ (correspondiente al caso de $X = 0$) de tamaño $e^{-\gamma}$ y la densidad en $[0,1]$ de la forma
$$
f(x) = \sum_{k=1}^\infty \mathsf{P}(X = k) f_k (x) = \sum_{k=1}^\infty\frac{\gamma^k e^{-\gamma}}{k!} f_k(x),
$$
donde $f_k(x)$ es la densidad de $M_k$. Es una cuestión de la inclusión-exclusión argumento para demostrar que
$$
f_k(x) = (k+1)k\sum_{i=0}^{\lfloor 1/x\rfloor-1} (-1)^{i}{k\elegir i}(1-ix)^{k-1}.
$$
(Tenga en cuenta que$f_k(x) = 0$$x<1/(k+1)$.)
Finalmente llegamos
$$
f(x) = \sum_{k=1}^\infty\frac{\gamma^k e^{-\gamma}(k+1)}{(k-1)!}\sum_{i=0}^{\lfloor 1/x\rfloor-1} (-1)^{i}{k\elegir i}(1-ix)^{k-1}.
$$
Es posible reorganizar la suma y a escribir es algo más corto. Voy a escribir la máxima expresión de la cdf $F(x) = \mathsf{P}(L<x)$ más que la de la densidad, como se ve más bonito e incluye tanto continua de la parte y el salto de parte:
$$
F(x) = e^{-\gamma}\left(\sum_{i=0}^{\lfloor 1/x\rfloor} \frac{\big(\gamma(ix-1)\big)^i}{i!}e^{\gamma(1-ix)} - \sum_{i=0}^{\lfloor 1/x\rfloor - 1} \frac{\big(\gamma((i+1)x-1)\big)^i}{i!}e^{\gamma(1-(i+1)x)}\right)\quad x\ge 0.
$$
Aquí $\sum_{i=0}^{-1} = 0$$0^0 = 1$.
