Desde $f$ es meromorphic, sus derivados $f^{(n)}$ no tienen residuos y mientras $b$ está dentro de la región de convergencia del teorema fundamental del cálculo se puede aplicar para obtener
$$\begin{align}
c_n^{(b)} &= f^{(n)}(b) = \underbrace{f^{(n)}(a)}_{=c_n^{(a)}} + \int_a^b f^{(n+1)}(t)\,dt
\\ &= c_n^{(a)} + \sum_{k=0}^\infty c_{k+n}^{(a)} \underbrace{\int_a^b \frac{(z-a)^k}{k!}\,dz}_{=\frac{(b-a)^{k+1}}{(k+1)!}}
\\ &= \sum_{k=0}^\infty c_{n+k}^{(a)}\frac{(b-a)^k}{k!} (*)
\end{align}$$
así como la pregunta sugerida.
Sin embargo, si $b$ se encuentra fuera de la convergencia de la región, esta falla. En ese caso, uno o más puntos intermedios $c_j$ tienen que ser introducidos a través de la cual hop de$a$$b$:
Deje $c_0=a$$c_N=b$, es decir, existirá $N$ saltos de conexión $N+1$ $c_j$s. Dada la serie de Taylor
$$f_j(z) = \sum_{k=0}^\infty f^{(k)}(c_j)\frac{(z-c_j)^k}{k!}$$
alrededor del punto de $c_j$, escoger un punto de $c_{j+1}$ $f_j$'s de convergencia regoin, es decir, con $|c_j-c_{j+1}|<R_j$ donde $R_j^{-1} = \limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|f^{(k)}(c_j)|}$ es el radio de convergencia de $f_j$. A continuación, utilizando el mencionado argumento, los coeficientes de $f^{(k)}(c_{j+1})$ de las series de análisis de continuación de $f_{j+1}$ $c_{j+1}$
$$\begin{align}
f^{(k)}(c_{j+1}) &= \sum_{l=0}^\infty f^{(k+l)}(c_j)\frac{(c_{j+1}-c_j)^l}{l!}
\\ &= \sum_{l=k}^\infty f^{(l)}(c_j)\frac{(c_{j+1}-c_j)^{l-k}}{(l-k)!}
\end{align}$$
La recursividad puede ser resuelto como
$$\begin{align}
f^{(l_N)}(b) = f^{(l_N)}(c_N) &= \sum_{l_{N-1}=l_N}^\infty\sum_{l_{N-2}=l_{N-1}}^\infty\cdots\sum_{l_0=l_1}^\infty \underbrace{f^{(l_0)}(c_0)}_{=f^{(l_0)}(a)}\prod_{m=1}^N \frac{(c_{m}-c_{m-1})^{(l_{m-1}-l_{m})}}{(l_{m-1}-l_{m})!} (\dagger)
\\ &= \sum_{l_0=l_N}^\infty \sum_{l_1=l_N}^{l_0}\sum_{l_2=l_N}^{l_1}\cdots\sum_{l_{N-1}=l_N}^{l_{N-2}} \underbrace{f^{(l_0)}(c_0)}_{=f^{(l_0)}(a)}\prod_{m=1}^N \frac{(c_{m}-c_{m-1})^{(l_{m-1}-l_{m})}}{(l_{m-1}-l_{m})!}
\\ &= \sum_{k_0=0}^\infty\underbrace{f^{(l_N+k_0)}(c_0)}_{=f^{(l_N+k_0)}(a)} \sum_{k_1=0}^{k_0}\sum_{k_2=0}^{k_1}\cdots\sum_{k_{N-1}=0}^{k_{N-2}} \prod_{m=1}^N \frac{(c_{m}-c_{m-1})^{(k_{m-1}-k_{m})}}{(k_{m-1}-k_{m})!} \quad(k_N=0)
\end{align}$$
Incompleto parte de una curva continua, casi ciertamente malo
Ahora vamos a $\gamma:[0,1]\to\mathbb C$ ser una curva de $a=\gamma(0)$ $b=\gamma(1)$y denotan $1/N=:dt, j/N=:t_j, c_j:=\gamma(t_j)$ (sí, para ser más precisos, todo debe llevar un índice $N$ así, pero usted sabe que este es el título, ¿verdad?). Entonces
$$c_j - c_{j-1} = \gamma(t_j) - \gamma(t_j-dt) = \gamma'(t_j)dt - \gamma''(t_j)dt^2/2 + \mathcal O(dt^3).$$
reivindicación 1) El $dt$s en el numerador el producto puede ser factorizado como
$$\prod_{m=1}^N dt^{(l_{m-1}-l_{m})} = dt^{(l_0-l_N)} = dt^{k_0}.$$
la reivindicación 2) , Ya que hay $N-1$ sumas, este es también el máximo exponente de la $dt$ que no puede llevar a la desaparición de los términos, así
$$k_0 = l_0-l_N \leqslant N-1.$$
la reivindicación 3) Desde entonces $N-1\geqslant k_0\geqslant k_1\geqslant...\geqslant k_{N-1} \geqslant 0,$ fijos $k_0$ de las sumas pueden reescribirse en $k_0$ sumas que indican que el índice de $1\leqslant j\leqslant N-1$ de la $k_j$ que se incrementará un especial cuidado debe tenerse cuando varias de estas sumas aumentar el mismo índice.
la reivindicación 4) Puesto que hay en la mayoría de las $k_0$ sumas y la $dt^{k_0}$ plazo es inevitable, todos los términos de orden superior de $c_m - c_{m-1}$ desaparecerá para $N\to\infty, dt\to0$.
reivindicación 5) Si dos o más sumas de aumentar el mismo índice, el importe efectivo de la suma es menor que $k_0$ y tales términos pueden contribuir a que la suma debido a la $dt^{k_0}$.
la reivindicación 6) por lo Tanto, el único resto de términos cuando alineando en $dt$ son aquellos donde la $k_0$ diferentes índices de aumento son exactamente, es decir,
$$f^{(l)}(b) \dot= \sum_{k=0}^{N-1} f^{(l+k)}(a) \underbrace{\sum_{j_1=1}^{N-1}\sum_{j_2=1 \atop j_2\neq j_1}^{N-1}\cdots\sum_{j_{k}}}_{k\,\text{sums}}dt^{k}\prod_{m=1}^{k}\gamma'(c_{j_m})$$
la reivindicación 7) El interior de las sumas pueden ser re-expresadas como
$$\sum_{j_m} = \sum_{j_m=1}^{N-1}\left(1-\sum_{l=1}^{m-1}\delta_{j_l,j_m}\right)$$
es decir,
$$f^{(l)}(b) \dot= \sum_{k=0}^{N-1}f^{(l+k)}(a) \prod_{m=1}^k\left(\sum_{j_m=1}^{N-1}\gamma'(c_{j_m})dt\left[1-\sum_{l=1}^{m-1}\delta_{j_m,j_l}\right]\right)$$
reivindicación 8) Ahora estoy casi convencido de que el deltas de Kronecker no contribuyen de forma significativa, pero que resultaría en
$$\begin{align}
f^{(l)}(b) &\dot= \sum_{k=0}^{N-1}f^{(l+k)}(a) \left(\sum_{j=1}^{N-1}\gamma'(c_j)dt\right)^k
\\ &\stackrel{N\to\infty}\longrightarrow \sum_{k=0}^\infty f^{(l+k)}(a)\underbrace{\left(\int\gamma'(t)\,dt\right)^k}_{=(b-a)^k}
\end{align}$$
lo que contradice $(*)$ y en realidad tiene un menor radio de convergencia. Ya sea que debe haber sido demasiado generoso en dejar caer los términos de orden superior o hizo algún otro error...
En realidad, puede ser un mejor método para resolver la ecuación diferencial
$$\partial_t f^{(l)}(\gamma(t)) = \gamma'(t) f^{(l+1)}(\gamma(t)),\quad f^{(l)}(\gamma(0)=a) = f^{(l)}(a)$$
pero tenga en cuenta que este es un sistema de infinitamente muchos junto lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias, que son formalmente resuelto por $(*)$, pero todavía sufren de la misma falta de convergencia para todas las $|\gamma(t)-a|\geqslant R_a$
