He realizado un par de cursos de álgebra homológica, en el contexto de funtores derivados, categorías abelianas,... Ahora me gustaría verlo desde otra perspectiva: mi principal interés es la teoría de la homotopía, y es bastante obvio que casi toda la teoría y sus herramientas tienen un núcleo homotópico-teórico (no sólo desde el punto de vista léxico, que imita al de la topología algebraica utilizando el enlace que ofrece la (co)homología singular). Aquí viene la pregunta: ¿podríais sugerirme un libro que utilice mucho las estructuras de modelos, los funtores derivados (ojalá se aclare el vínculo entre la noción "ingenua" en el álgebra homológica y la utilizada en la teoría de la homotopía), etc.? Gracias de antemano.
Respuesta
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Una rápida introducción al método teórico de la categoría del modelo en el álgebra homológica puede encontrarse en la obra de Goerss y Schemmerhorn "Categorías de modelos y métodos simpliciales" . Tratan las resoluciones en el entorno no abeliano con el lenguaje de las categorías de los modelos.
Una herramienta central en la teoría abstracta de la homotopía es el conjunto simplicial, así que un buen calentamiento si no los has visto antes es el capítulo 8 del libro de Weibel "An Introduction to Homological Algebra". Aquí, el autor utiliza métodos simpliciales para derivar varias construcciones en categorías abelianas, que son concretas y puedes hacer cálculos fácilmente con ellas. Aplicando resoluciones simpliciales también puedes obtener funtores derivados de funtores más generales que los aditivos y el artículo de Tierny y Vogel "Simplicial Derived Functors" puede ser útil.
Hay muchos lugares a los que podrías ir después de esto. Sugiero también que tengas una aplicación específica en mente para que puedas ver gran parte de esta teoría en ejemplos concretos. Para ver cómo se utilizan los métodos simpliciales en un entorno ligeramente menos abstracto, la "Teoría Algebraica K de los Espacios" de Waldhausen podría ser de tu interés, y este marco fue utilizado finalmente por Rognes para demostrar que el grupo abeliano finitamente generado $K_4(\mathbb{Z})$ es trivial, lo que demuestra que la teoría de la homotopía abstracta conduce efectivamente a los cálculos.
Para un punto de vista más avanzado, un libro muy elegante es "Categorical Homotopy Theory" de Riehl, disponible en su sitio web . Aclarar la conexión entre los funtores derivados y la estructura esencial de una categoría (equivalencias débiles) necesaria para definirlos es el tema de este libro.
