¿Cómo se llama a los grupos donde se puede aplicar el grupo de operación de un número fraccionario de los tiempos?

Question

Tengo un grupo de $G$, y para todos los $g \in G$ $a,b \in \mathbb{Z}$ tiene sentido hablar sobre el elemento $g^{a \over b} \in G$.

Para obtener algo de intuición, he estado pensando en lo que significaría para ello a los números enteros sobre la suma: no es un grupo, a menos que ampliamos el conjunto de todos los números racionales. Del mismo modo, si tenemos en cuenta los racionales sobre la multiplicación, no es un grupo, a menos que ampliamos el conjunto de todos los números reales. Pero me gustaría ver algunos tratamientos formales de esta estructura y pregunto dónde buscar.

Es cierto que esta podría ser una definición alternativa para Abelian grupos? o se trata de algo completamente distinto?

Answer 1

Voy a asumir que $\frac{a}{b}$ es en términos mínimos y que $b \neq 0$. Lo $g^{a/b}$ es, debe ser algún elemento $h$ tal que

$$h^b = g^a.$$

Tal elemento no existe en general, ni va a ser único en general.

Abelian grupos que tales elementos existir siempre se dice que ser divisible. La divisibilidad, sin embargo, no dice nada acerca de la unicidad. Abelian grupos que tales elementos tanto siempre existen y que siempre son únicas $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales (ejercicio).