Estoy tratando de comprender exterior álgebra mejor mediante la obtención de algunas de las "manos" de la comprensión de los exteriores de las potencias $\Lambda^k(X)$ en más detalle al $\dim(X)$ es pequeña. Creo que hasta ahora entiendo los casos $\dim(X) = 1,2,3$ bastante bien. El siguiente caso $\dim(X) =4$ me está dando más problemas.
Así que, tomemos $X = \mathbb{R}^4$. Tenemos, como de costumbre,$\Lambda^1(\mathbb{R}^4) = \mathbb{R}$$\Lambda^1(\mathbb{R}^4) = \mathbb{R}^4$. El exterior de la plaza de la $\Lambda^2(\mathbb{R}^4)$ es más interesante porque $4$ es la dimensión más pequeña de tal manera que no existen elementos en $\Lambda^2(\mathbb{R}^4)$ además de aquellos de la forma$u \wedge v$$u,v \in \mathbb{R}^4$. En particular, hay el "simpléctica elementos" como $e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_4$. Puedo ver que no se obtuvieron los gajos de dos vectores. También, creo que puedo ver que todos ellos son congugate bajo la acción de $GL(4)$$\Lambda^2(\mathbb{R}^4)$.
Pregunta inicial: a mí me parece que hay exactamente dos tipos de elementos en $\Lambda^2(\mathbb{R}^2)$, cada uno de los cuales constituye una órbita de la $GL(4)$-acción. El "simpléctica elementos" y los que son cuñas de dos vectores. Es esto correcto? O hay algún tipo intermedio de elemento que me estoy perdiendo?
En tratando de confirmar la respuesta a la pregunta anterior fue "si" puedo pasar algún tiempo navegando a través de los artículos de wikipedia como estos queridos en Plücker coordenadas. Mucho de lo que es superfluo para mis necesidades, pero creo que he entendido correctamente que hay una asignación $$ \{ \text{planes in }\mathbb{R}^4 \} \longrightarrow \{ \text{lines in }\Lambda^2(\mathbb{R}^4)\}$$ que envía $$ \mathrm{span}\{u,v\} \to \mathrm{span}( u \wedge v).$$
En términos de coordenadas, en este mapa se envía a la columna espacio de un rango de $2$ matriz $$ A = \begin{bmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \\ u_4 & v_4 \\ \end{bmatrix} $$ a $$ X_{12} e_1 \wedge e_2 + X_{13} e_1 \wedge e_3 + X_{14} e_1 \wedge e_4 + X_{23} e_2 \wedge e_3 + X_{24} e_2 \wedge e_4 + X_{34} e_3 \wedge e_4 $$ donde $X_{ij}$ es el determinante de la $2 \times 2$ submatriz de a $A$ consta de Filas $i$$j$. No es demasiado difícil ver este mapa está bien definido. Basta comprobar la realización de operaciones elementales en la matriz sólo puede escalar el Plücker coordenadas. En efecto:
- La conmutación de las columnas de a $A$ cambia el signo de cada una de las $X_{ij}$.
- La adición de un múltiplo de una columna de $A$ a las otras hojas, cada una de las $X_{ij}$ invariante.
- El escalado de una columna de $A$ resultados en la ampliación de cada una de las $X_{ij}$ por la misma cantidad.
Ahora, desde esta sección, me di cuenta de que se supone que para ser capaz de detectar con precisión qué elementos de $\Lambda^2(\mathbb{R}^4)$ son cuñas de dos vectores por comprobar si cumplen con los Plücker Relación: $$X_{12}X_{34} − X_{13}X_{24}+ X_{23}X_{14} = 0$$ Así, lo que traté de hacer fue verificar directamente que, dado un elemento $w = \sum_{i < j} X_{ij} e_i \wedge e_j \in \Lambda^2(\mathbb{R}^4)$:
- Si $w$ es una cuña de dos vectores, a continuación, $w$ satisface la Plücker Relación.
- Si $w$ ¿ no satisfacer la Plücker Relación, a continuación, $w$ es un "simpléctica elemento".
Sin embargo, yo estaba confundido a descubrir que (1) no parecen tener
Pregunta principal: ¿Estoy volviendo loco? ¿O es que el Plücker relación $$X_{12}X_{34} − X_{13}X_{24} + X_{23}X_{14} = 0$$ no tienen en general donde $$ X_{ij} = \det \begin{bmatrix} u_i & v_i \\ u_j & v_j \\ \end{bmatrix}$$ y $u,v \in \mathbb{R^4}$ son linealmente independientes? He calculado que esta alrededor de 4 veces ahora. Posiblemente estoy cometiendo algún error, pero en este punto creo que es más probable que no estoy entendiendo lo que el Plücker relaciones se supone que debe hacer correctamente.
Lo siento por la pregunta larga. Yo podría haber sido más conciso, pero también quería dejar constancia de mi proceso de pensamiento de modo que pudiera recordar más tarde.
