La convolución de una $L^1$ función, y una función que tiende a $0$ resultados en una función que tiende a $0$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema en revisión para una prueba, pero sólo parcialmente logrado:

Deje $K \in L^1(\mathbb{R})$ $f$ ser un acotado medible de la función en $\mathbb{R}$,$\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$. Deje $F(x) = \int_{\mathbb{R}} K(x-t)f(t)\mathrm dt$. Demostrar que $F(x)$ es finito para cada $x$$\lim_{x\to\infty} F(x) = 0$.

El uso de Hölder la desigualdad fue straightfoward para mostrar $F(x)$ finito para cualquier $x$. Alguna sugerencia sobre cómo uno puede mostrar que $F(x) \to 0$$x \to \infty$?

Answer 1

Sugerencia: reescribir la integral como $$F(x)=\int_{\mathbb R}K(s)f(x-s)\mathrm ds,$$ a continuación, utilice una convergencia dominada argumento.