Reclamo: Probar que para todo entero $n \geq 8$, existen números enteros no negativos $a$ $b$ tal que $n = 3a + 5b.$
Proclamó solución : Vamos a $n ∈ \mathbb{Z}$ con $n ≥ 8.$ $\text{ Then } n = 3q, \text{ where } q ≥ 3, \quad \text{ or } n = 3q+1, \text{ where } q ≥ 3, \quad \text{ or } n = 3q+2, \text{ where } q ≥ 2.$
Consideramos que estos tres casos. (El resto de la prueba omitida)No me prenden las anteriores partes de la prueba ANTES de (el Resto de la prueba omitida). Sin embargo, entiendo y completó el resto de la prueba que he omitido. He de reconocer que se utiliza el resultado de que la división de un entero por $n$ debe dar un remanente de $0, 1, 2, ..., n - 2, \text{ o } n - 1$.
$1.$ Sin embargo, ¿cuál es la idea o estrategia de la prueba?
$2.$ Lo que motiva o propaga la reclamación?
$3.$ Hay una forma más natural, o más fáciles de la prueba?
Yo hice referencia a 1. Fuente: P102, Problema 4.9 en P101 (relacionados con el P90, Resultado 4.8) de Pruebas Matemáticas, 2ª ed por Chartrand et al.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Más en general, dado coprime enteros positivos $n, m$, cada entero $z$ mayor que o igual a $(n-1)(m-1)$ puede ser escrita en la forma $$ z = a n + b m $$ para enteros no negativos $a, b$.
He aquí una prueba
En primer lugar, encontrar enteros $x_0, y_0$ tal
$z = x_0 n - y_0 m.$
Ahora sabemos que las soluciones de $x, y$ de
$$
z = x n + y m
$$
son de la forma
$$
x = x_0 - t m, \qquad y = t n + y_0,
$$
para algunos $t$.
Para que $c$ no es un porcentaje ($t$tal que $$x_0 - t m \ge 0, \qquad t n + y_0 \ge 0?\tag{eq}$$ Queremos $$ \frac{x_0}{m} \ge t \ge \frac{y_0}{n}. $$ Definitivamente hay un $t$ si $$ 1 \le \frac{x_0}{m} - \frac{y_0}{n} = \frac{x_0 n - y_0 m}{mn} = \frac{z}{mn}, $$ o $z \ge m n$.
Para obtener la mejor estimación posible $z \ge (n-1)(m-1)$, reemplazar (eq) con $$ x_0 - t m > -1, \qquad t n + y_0 > -1\etiqueta{eq'} $$
Yo no puedo hablar de una prueba incompleta, pero me gustaría ir como sigue (sugerencias):
$$\begin{align*}(1)&\;\;\min\{3a+5b\;;\;3a+5b> 0\;,\;(a,b)\in\Bbb N^2\}=8\\ (2)&\;\;\text{Induction on }\;\;n:\;\;n+1=3a+5b+1=\\ &\;\;=3a+5b+3\cdot 2+5\cdot(-1)=3\cdot(a+2)+5\cdot(b-1)\end{align*}$$
Ahora todo lo que queda es mostrar a $\,b-1\ge 0\;\ldots$y es posible que desee comprobar algunos de los diferentes casos.
$3a=3\cdot a+0\cdot5$ necesidades $a\ge0\implies 3a\ge 0$
$3a+1=3(a-3)+2\cdot5$ necesidades $a\ge3\implies 3a+1\ge 10$, por lo que desestima $1,4,7$
$3a+2=3(a-1)+5\cdot5$ necesidades $a\ge1\implies 3a+2\ge 5$, por lo que desestima $2$
Iteración con $5$
$5b=5\cdot b+0\cdot3$ necesidades $b\ge0\implies 5b\ge 0$
$5b+1=5(b-1)+2\cdot3$ necesidades $b\ge1\implies 5b+1\ge 6$
$5b+3=5\cdot b+1\cdot3$ necesidades $b\ge0\implies 5b+3\ge 3$
$5b+2=5(b-2)+3\cdot4$ necesidades $b\ge2\implies 5b+2\ge 12$
$5b+4=5(b-1)+3\cdot3$ necesidades $b\ge1\implies 5b+4\ge 9$
Así, el único de los números de aquellos que no son representables se $1,2,4,7$
Deje $n=3a + 5b$. Esto conduce a:
$$ n\equiv 3a + 5b \equiv 5b \pmod 3$$
Ahora tenemos tres posibilidades:
Caso 1:
$$ n \equiv 0 \pmod 3 \implies 5b \equiv 0 \pmod 3$$ $$ 5b \equiv 15 \pmod 3$$ $$ b \equiv 3 \equiv 0 \pmod 3$$
Esto significa que si $ n \equiv 0 \pmod 3$, podemos arreglar $b=0$$a=\frac{n}{3}$, que es un entero, debido a la relación de congruencia.
Caso 2:
$$ n \equiv 1 \pmod 3 \implies 5b \equiv 1 \pmod 3$$ $$ 5b \equiv 10 \pmod 3$$ $$ b \equiv 2 \pmod 3$$
Esto significa que si $ n \equiv 1 \pmod 3$, podemos arreglar $b=2$$a=\frac{n-10}{3}$, que es un entero, porque $n \equiv 10 \pmod 3$, también se $n-10$ no puede ser un número negativo, debido a que $n \geq 8$ y el próximo número de la forma $3k+1$ es de 10.
Caso 3:
$$ n \equiv 2 \pmod 3 \implies 5b \equiv 2 \pmod 3$$ $$ 5b \equiv 5 \pmod 3$$ $$ b \equiv 1 \pmod 3$$
Esto significa que si $ n \equiv 1 \pmod 3$, podemos arreglar $b=1$$a=\frac{n-5}{3}$, que es un entero, porque $n \equiv 5 \pmod 3$.
Porque hemos agotado todos los casos, se demostró que existe un entero no negativo, las soluciones de $(a,b)$, para cada $n \geq 8$
Q. E. D.
