Aproximación 1-exponencial

Question

¿

$$\left(1-\frac{1}{x}\right)^x \approx e^{-1}\ ?$$

Hay una prueba o algo para entender esto?

Answer 1

El natural (es decir, base-$e$) función exponencial es su propia derivada. Esto significa que su tasa de crecimiento es igual a su tamaño actual. Vamos a decir $x$ es de un millón. Siendo una función exponencial, la función se multiplica por la misma cantidad cada vez que una millonésima parte de una unidad de tiempo que pasa. El tamaño ahora es $1$; el tamaño de una millonésima parte de una unidad de tiempo atrás, es la actual tasa de crecimiento, que es $1$, multiplicada por el tiempo, una millonésima parte. Por lo tanto, una millonésima parte de una unidad de tiempo atrás, el tamaño de la se $1-(1/x)$.

Siince es un base-$e$ función exponencial, el tamaño de una completa unidad de tiempo atrás, es $e^{-1}$.

Cada vez que usted vaya a una millonésima parte de una unidad de tiempo en el pasado, se multiplica el tamaño de la misma cantidad, y como hemos visto, de que la cantidad es $1-(1/x)$. Para llegar a una unidad de tiempo en el pasado, tiene que multiplicar por el número de $x$ a veces, en nuestro ejemplo un millón de veces. Por lo tanto, cuando usted multipy $x$ veces $1-(1/x)$, se obtiene acerca de $e^{-1}$. Eso no es exacto debido a una millonésima parte de una unidad de tiempo se pueden subdividir, dando todavía una aproximación más cercana a $e^{-1}$.

Esto por supuesto no es una rigurosa prueba. A menudo heurística argumentos son más esclarecedor.

Answer 2

deje $y = \left(1-\frac{1}{x}\right)^x \ $, tomando registro de ambos lados, obtenemos,

${\log(y) = x(\log(1 - {1\over{x}}))}$, Ahora por la expansión de taylor de registro que tenemos,

$\log(y) = x(\ {-1\over{x}} - ({-1\over{x}})^{2}.{1\over{2}} +\ ...) $

$\log(y) = (\ {-1} - x({-1\over{x}})^{2}.{1\over{2}} +\ ...) $, tomar el límite de ambos lados,

$\lim_{x\to\infty}\log(y) = -1 $,

$y = e^{-1}$