Límite de una función con codominio discreto

Question

Dejemos que $f(n) = \sum_{i=0}^n 2^{-i}$

Dejemos que $g(n) = \begin{cases} \text{False}, & f(n) < 2\\ \text{True}, & f(n) \geq 2 \end{cases}$

Estoy tratando de encontrar $\lim_{n \to \infty} g(n)$

Claramente $\lim_{n \to \infty} f(n) =2$

No creo que sea válido decir que porque $f(n)=2$ en el límite entonces $g(n) = \text{True}$ en el límite.

Para cualquier finito $n$ el valor de $g(n)$ es False lo que me lleva a creer que el límite es False pero estoy seguro de esto.

Posiblemente esto dependa del dominio de $f$ . Si el dominio de $f$ es $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ entonces el límite es diferente al caso en que el dominio de $f$ es $\mathbb{N}$ ?

Answer 1

Tienes razón: $\lim\limits_{n\to\infty}g(n)=\text{False}$ . Esto es cierto tanto si $f$ se define en $\Bbb N$ o en $\Bbb N\cup\{\infty\}$ . Al igual que el valor de $\lim\limits_{x\to 0}h(x)$ no depende del valor de $h$ en $x=0$ (que puede incluso no estar definido), por lo que el límite aquí como $n\to\infty$ no depende del valor de $g$ en $\infty$ . La secuencia $\langle g(n):n\in\Bbb N\rangle$ es constante con valor $\text{False}$ por lo que su límite es $\text{False}$ independientemente de que $g(\infty)$ se define o, si es así, cuál es su valor.

Answer 2

$\forall n \in \mathbb{N}, g(n)=false$

Por lo tanto, $\lim_{n \rightarrow + \infty} g(n) = false$

Si alguna vez tienes una duda, puedes volver a la definición del límite. Si consideras que la norma de los booleanos es $0$ o $1$

Consideremos $\epsilon > 0$

Llamemos $n_0=0$

Consideremos $n \geq n_0$

$|g(n) - false|<\epsilon$

Así que $\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n \geq n_0, |g(n) - false | < \epsilon$

Después de un comentario : Si el dominio de $f$ y $g$ incluye $\infty$ entonces esto no se aplica, y de hecho $g(\infty)=true$ pero $\infty$ no tendrá el mismo significado que en el límite. Será parte del dominio de la función. Aunque es la misma idea detrás de ambos infinitos, uno se define gracias al límite, y el otro como algún objeto, sobre el cual $f$ es igual a su límite y $g$ es igual a verdadero.

Al plantear $f(-1) = \lim_{n \rightarrow \infty} f(n)$ (y $g(-1) = true$ ) aparecería lo mismo, pero sería quizás menos confuso.