¿Es práctico utilizar la fracción continua infinita para generar números aleatorios?

Question

Observé el patrón de este número irracional: $$\sqrt{1 + \sqrt{2}}$$ y se dio cuenta de que cada elemento $a_i$ ocurrió de forma muy aleatoria. Este es el resultado de los 100 primeros elementos:

[1,1,1,4,6,1,2,2,2,1,1,6,1,179,48,1,356,1,1,3,15,2,1,4,8,3,1,1,1,5,1,1,9,1,19,1,
2,13,2,1,1,4,2,1,1,3,2,1,1,4,15,1,4,5,1,7,6,1,6,6,2,3,38,1,4,1,9,3,1,2,1,2,1,2,1
,1,3,1,4,1,2,4,1,4,1,1,1,58,6,3,4,203,4,14,2,1,1,41,2,2]

A medida que aumentaba la longitud de esta secuencia, el número era aún más arbitrario. Así que me pregunto, ¿hay algún trabajo previo o documento que se relaciona con el generador de números aleatorios utilizando el enfoque de fracción continua? ¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Se sabe muy poco sobre las expansiones continuas de fracciones de números distintos de los racionales y los irracionales cuadráticos. En particular, se cree ampliamente, pero no se ha demostrado, que la fracción continua de un irracional de grado superior a 2 tiene cocientes parciales arbitrariamente grandes.

Casi todos los reales (todos menos un conjunto de medida cero) tienen la misma densidad límite de 1s, 2s, 3s, etc., en su expansión continua de fracciones, pero de nuevo se cree-pero-no-se-sabe que irracionales familiares tales como $\pi$ y el que citas están en el juego de medidas completas.

Answer 2

Si por casualidad se quiere modelar el Distribución de Gauss-Kuzmin entonces podría ser factible. De lo contrario, no parece tener mucho sentido.

Answer 3

Es difícil imaginar secuencias con una distribución más descaradamente sesgada que la secuencia anterior. Este sesgo es la norma en las fracciones continuas.

Existen otros problemas con las fracciones continuas como generadores de números aleatorios. Uno de ellos es que, aparte del caso cuadrático, los cocientes no son fáciles de calcular. Otro es que los cocientes tienen algunas dependencias sutiles.