De la ecuación Integral $u(t)=f(t)+a\int_0^t u(s)ds\quad t\geq 0$

Question

Deje $a\in\mathbb R$ $f\colon [0,1]\to\mathbb R$ una función continua. Resolver la ecuación integral $$u(t)=f(t)+a\int_0^t u(s)\mathrm ds,\quad t\geq 0$$ y encontrar una fórmula explícita para la solución. Gracias

Answer 1

Uno de los enfoques para resolver este al $f$ es diferenciable, para encontrar una fórmula para $u$ involucran sólo a $f$ (esto se puede hacer usando integración por partes para deshacerse de $f'$), y para mostrar que esta fórmula también da la única solución al $f'$ no existe.

Otro enfoque es considerar la función de $v=u-f$ y la nota que $$v(t)=g(t)+a\int_0^tv(s)\mathrm ds,\qquad g(t)=\int_0^tf.$$ La función de $g$ $C^1$ por lo tanto uno puede solucionar esta nueva ecuación integral de la forma habitual, por differentiatig. Uno se $v'=g'+av$, por lo tanto $(\mathrm e^{-at}v(t))'=\mathrm e^{-at}g'(t)$, es decir, $$v(t)=\mathrm e^{a}\left(v(0)+\int_0^t\mathrm e^{como}g'(s)\mathrm ds\right).$$ Desde $v(0)=0$$g'=af$, esto demuestra que $$u(t)=f(t)+v(t)=f(t)+a\mathrm e^{a}\int_0^t\mathrm e^{como}f(s)\mathrm ds.$$ Comprobación de validez: El primer método descrito en este post los rendimientos de la misma fórmula.