Encontrar el valor del límite $a_n=(1+2^n+3^n+...+n^n)^{1/n}\sin(1/n)$

Question

Quiero encontrar el límite $\lim_{n\rightarrow\infty}(1+2^n+3^n+...+n^n)^{1/n}\sin(1/n)$ . He intentado hasta ahora atarlo pero no he tenido ningún éxito.

Answer 1

Para todos $n$ $$ n^n<1+2^n+3^n+...+n^n<n\,n^n. $$ Tomando la $n$ -th raíz $$ n<(1+2^n+3^n+...+n^n)^{1/n}<n^{1/n}\,n. $$ ¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 2

$$\frac{\sin(1/n)}{1/n}=n\sin(1/n)\leq a_n\leq (n\cdot n^n)^{1/n}\sin(1/n)=n^{1/n}\frac{\sin(1/n)}{1/n}$$

Ahora usa eso $n^{1/n}\to1$ y $\frac{\sin(1/n)}{1/n}\to1$ .

Answer 3

Compara la suma con la integral $\int_{1}^{n} x^n dx$ , reescriba la expresión como $x= e^{\log x}$ y utilizar la serie de Maclaurin para el seno: $e^{\log \sin x} \sim e^{\log (\frac{1}{n} - \frac{1}{n^3} +O(\frac{1}{n^5}))} = \frac{1}{n} +\frac{1}{n^3} +O(\frac{1}{n^5})$

Answer 4

Una pista: $$ \lim_{n \to \infty} (1+2^n+3^n+\cdots+n^n)^{1/n}\sin(1/n) = \\ \lim_{n \to \infty} (1+2^n+3^n+\cdots+n^n)^{1/n} (1/n) \cdot \overbrace{\frac{\sin(1/n)}{1/n}}^1 =\\ \frac 1n (1+2^n+3^n+\cdots+n^n)^{1/n} = \\ ((1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+\cdots+1^n)^{1/n} $$ Podemos entonces tratar $(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+\cdots+1^n$ como la suma de Riemann de una determinada integral.