La construcción de Mrowka espacio ( psi espacio) no es claro para mí. Debido a esto no pude ver por qué es la primera contables, localmente compacto y Hausdorff.
Coud me puede dar ayuda sobre este espacio? gracias de antemano
Respuesta
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Resumiremos la construcción, también para fijar la notación. Tenemos $\omega$ (los números naturales) y una colección de $\mathcal{A}$ de los infinitos subconjuntos de a $\omega$ que es casi discontinuo: para cada $A,B \in \mathcal{A}, A \neq B$ tenemos que $A \cap B$ es finito.
Se define un espacio de $X = \omega \cup \{x_A: A \in \mathcal{A} \}$ (por lo tanto, añadir a $\omega$ una colección de nuevos puntos, uno para cada miembro de la casi la desunión de la familia).
Podemos definir una topología en esta definiendo un barrio de base para cada punto: cada una de las $n \in \omega$ ha barrio de base $\{ \{n \} \}$; es un punto aislado (como en el habitual discretos topología en $\omega$). Cada $x_A$ (fija de $A \in \mathcal{A}$) tiene un barrio de base que consiste de todos los conjuntos de la forma $B(A,F) = \{x_A\} \cup (A \setminus F)$ donde $F \subset A$ es finito. También podemos definir el open ajusta directamente como todos los sets de $O$: $\forall_{A \in \mathcal{A}}: x_A \in O \rightarrow A \setminus O \mbox{ finite.}$
Tenga en cuenta que todos los subconjuntos de a $\omega$ todavía están abiertos (como de costumbre) y que todos los $B(A,F)$ intersecta $X$$\omega$, y no contiene otros puntos adicionales. Así que el conjunto $X \setminus \omega$ (todos los puntos extra $x_A$) formas cerrado y discreto subconjunto de $X$. Esto muestra que si $\mathcal{A}$ es incontable, a continuación, $X$ no es countably compacto. También, no $\{x_A\}$ es abrir por sí mismo, porque todos los $A$ son infinitas, así básica de todos los bloques abiertos de $x_A$ se cruzan $\omega$ no trivialmente. Por lo $\omega \subset X$ es densa (por lo $X$ es separable).
A ver que $X$ es Hausdorff, tenemos que separar un par de puntos distintos $x \neq y$$X$. Si $x,y \in \omega$ los conjuntos de $\{x\}$ $\{y\}$ va a hacer, por supuesto, y si, decir $x \in \omega$ $y = x_A$ algunos $A \in \mathcal{A}$, $\{x\}$ $B(A,\{x\})$ están abiertos, de a pares distintos barrios de $x$ $y$ resp. Como el último caso, si $x = x_A$, $y = x_B$, para $A \neq B, A,B \in \mathcal{A}$, sabemos que $F = A \cap B$ es finito y, a continuación,$x \in B(A,F)$, $y \in B(B, F)$ y estos conjuntos son claramente distintos (hemos eliminado el posible intersección $F$). Así que aquí (por fin) el uso que $\mathcal{A}$ es casi discontinuo.
Que $X$ es la primera contables: trivial en puntos aislados, y sólo hay countably muchos subconjuntos finitos de $\omega$, por lo que el de otras bases, como se describe anteriormente, son todos contables ya.
Y $X$ es localmente compacto, debido a que cada conjunto de $A \cup \{x_A \}$ ($=B(A,\emptyset)$), y a pesar de que cada conjunto de $B(A,F)$, es homeomórficos a una secuencia convergente (enumerar $A$$\{x_n: n \in \omega \}$,$x_n \rightarrow x_A$$n \rightarrow \infty$: cada barrio de el límite contiene una cola de la secuencia. Y secuencias convergentes son espacios compactos. Además, esto muestra que $X$ es cero-dimensional (como todos los elementos básicos son clopen ser compacto en un espacio de Hausdorff) y por lo tanto completamente regular (Tychonoff, o $T_{3\frac{1}{2}}$).
Todos los espacios de esta forma a menudo son llamados a $\Psi$-como los espacios (o Mrówka espacios). Si elegimos $\mathcal{A}$ a un máximo (por inclusión) casi la desunión de la familia de subconjuntos (que siempre son innumerables y pueden ser tan grandes como el continuo, a continuación, $X$ puede ser demostrado ser pseudocompact (todos los verdaderos valores de funciones continuas definidas en ella están delimitadas), y como $T_4$ pseudocompact espacios son countably compacto, llegamos a la conclusión de que para la máxima casi discontinuo familias, $\mathcal{A}$ $X$ es completamente regular, no-normal Hausdorff espacio que muestra que pseudocompactness no implica necesariamente contables de compacidad para los no$T_4$ espacios.
